多元函数极值 、多元函数的极值和最值 观察二元函数z=-的图形
观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 多元函数极值 一、多元函数的极值和最值
二元函数极值的定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内 有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y): 若满足不等式f(x,y)<∫(x0,y),则称函数 在(x0,)有极大值;若满足不等式 f(x,y)>∫(x0,y),则称函数在(x0,y0)有极 小值; 极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点 函数z=3x2+4y2 在(0,0)处有极小值 (1)
1、二元函数极值的定义 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的点(x, y)： 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数 在 ( , ) 0 0 x y 有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在( , ) 0 0 x y 有 极 小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y (1)
函数z=-x2+y2 在(0.,0)处有极大值 函数z 在(0,0)处无极值 (3) 2、多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)具有偏导数,且 在点(x,y)处有极值,则它在该点的偏导数必 然为零:fx(x0,y)=0,J(x0,y)=0
在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y (2) 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy (3) 2、多元函数取得极值的条件 定理 1（必要条件） 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且 在 点( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x (x0 , y0 ) = 0， ( , ) 0 f y x0 y0 =
证不妨设z=f(x,y)在点(x0,y)处有极大值, 则对于(x,y0)的某邻域内任意(x,y)≠(x,y) 都有∫(x,y)<∫(x0,y0) 故当y=y,x≠x0时,有f(x,y)<f(x0,y0), 说明一元函数f(x,y)在x=x处有极大值, 必有fx(x0,y0)=0; 类似地可证f,(x0,y)=0 推广如果三元函数n=f(x,y,z)在点P(x0,y0,) 具有偏导数,则它在P(x0,y0,z0)有极值的必要条 件为 f2(x0,y0,x0)=0,f,(x0,y0,z)=0, 0909 z0)=0
证 不妨设z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y) ( , ) 0 0 f x y , 故当 0 y = y ，x x0时， 有 f (x, y0 ) ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x = x0处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0; 类似地可证 f y (x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数u = f ( x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 f x (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f y (x0 , y0 ,z0 ) = 0， f z (x0 , y0 ,z0 ) = 0
仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零 的点,均称为函数的驻点 注意:驻点 极值点 例如,点(0,0)是函数z=xy的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又∫x(x0,y) ∫(x0,y)=0, 令∫x(x,)=A,J(x0,y)=B ∫n(x0,y)=C
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 注意： 驻点 极值点 例如, 点(0,0)是函数z = xy的驻点， 定理 2（充分条件） 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 又 f x ( x0 , y0 ) = 0, f y (x0 , y0 ) = 0， 令 f x x ( x0 , y0 ) = A， f xy (x0 , y0 ) = B， f yy (x0 , y0 ) = C， 但不是极值点