定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系—微积分基本公式,利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ,而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法,如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算,相信定能使得定积 分的计算简化,下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式
定积分的换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式
先来看一个例子 例 x+2 dx √2x+1 换元求不定积分令t=2x+1则x=1(2-1) ∫U+2 t--t+2 133 2d t=t+t+C √2x+1 =(2x+)2+,(2x+1)2+C 故 x+2 22 √2x+
先来看一个例子 例1 + + 4 0 2 1 2 dx x x 换元求不定积分 令 t = 2x + 1 则 ( 1) 2 1 2 x = t − dt t t t dx x x − + = + + 2 2 1 2 1 2 1 2 2 = t + t + C 2 3 6 1 3 = x + + x + + C 2 1 2 3 (2 1) 2 3 (2 1) 6 1 故 = + + 4 0 3 22 2 1 2 dx x x
尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号令t=√2x+1则x= dx= tat 当x从0连续地增加到4时,t相 应地从1连续地增加到3 d t dr v2r+1-0 x+2 22 于是 dx=l(t+3)dt √2x+1 3
为去掉根号 令 t = 2x + 1 则 2 1 2 − = t x dx = tdt 当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3 0) 2 1 1 ( + = dx x dt 于是 = + = + + 3 1 2 4 0 3 22 ( 3) 2 1 2 1 2 dx t dt x x 尝试一下直接换元求定积分
由此可见,定积分也可以象不定积分 样进行换元,所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量,而对定积分则只需将其上 下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分,而不必回代原积分变量 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
、换元公式 假设 (1)f(x)在a,b上连续; (2)函数x=p(t)在a,上是单值的且有连续 导数; (3)当在区间a,6上变化时,x=p(t)的值 在[a,b上变化,且φ(a)=a、φ(B)=b, 则有f(x)t=|q()lp(ut
一、换元公式 假设 （1） f (x)在[a,b]上连续； （2）函数x = (t)在[, ]上是单值的且有连续 导数； （3） 当t 在区间[, ]上变化时，x = (t) 的 值 在[a,b]上变化，且() = a、( ) = b， 则 有 f x dx f t t dt b a = ( ) [( )] ( )