高阶导数 、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度 设s=∫(t),则瞬时速度为v(t)=f(t) 加速度a是速度对时间功变化率 a(t=v(t=lf(tl 定义如果函数f(x)的导数/(x)在点x处可导,即 c(x)=lim f(x+△x)-f'(x) △x→0 △J 存在则称(f(x).函数f(x)在点处的二阶导数
高阶导数 一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = →
ydf(x) 记作f"(x),y",2或 dx dx 二阶导数的导数称为三阶导数,f"(x),y dx 三阶导数的导数称为四阶导数,f((x),y 般地,函数f(x)的n-阶导数的导数称为 函数f(x)的n阶导数,记作 (n) dy d f(r) dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 相应地,f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数
记作 . ( ) ( ), , 2 2 2 2 dx d f x dx d y f x y 或 二阶导数的导数称为三阶导数, ( ), , . 3 3 dx d y f x y 三阶导数的导数称为四阶导数, ( ), , . 4 4 (4) (4) dx d y f x y 函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . ( ) ( ), , ( ) ( ) n n n n n n dx d f x dx d y f x y 或 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数
二、高阶导数求法举例 1.直接法由高阶导数的定义逐步求高阶导数 例1设y= arctan x,求f"(0),f"(0) 解y 2x J 1+x 1+x2(1+x2)2 2x,) 2(3x2-1) (1+x2)2(1+x2)3 f"(0)=a4+-2y2x-0=f"0)÷2(3x2-1) 2x (1+x2)305-2
二、 高阶导数求法举例 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f = 0; 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x f = −2
例2设y=x°(a∈R),求y( 解 J=ora-I y"=(axa-)'=a(a-1)x y"=(a(-1)x72)=a(a-1)(a-2)x3 )=a(-1)…(a-n+1)x.n(n≥1) 若a为自然数n,则 (n) (n) (n+1) -n,, y
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x ( ( 1) ) 2 = − − y x 3 ( 1)( 2) − = − − x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0
例3y=a0x"+a1x"+…+an-1x+an求y 解y'=nanx"l+(n-1ax"2+…+2an2x+an1 y"=n(n-1)anx"2+(n-1)(n-2)a1x"3+…+2an2 J (k=n(n 1)…(n-k+1)aox +(n-1)(n-2)…(n-k)a1x -1 +∴+k! k →y1n=nlao
例 3 ( ) 1 1 0 1 n n n n n y = a x + a x + + a x + a 求y − − 解 2 1 2 1 1 0 ( 1) 2 − − − − = + − + + n + n n n y na x n a x a x a 2 3 1 2 ( 1) 0 ( 1)( 2) 2 − − − = − + − − + + n n n y n n a x n n a x a n k n k k n k k a n n n k a x y n n n k a x − − − − + + + − − − = − − + ! ( 1)( 2) ( ) ( 1) ( 1) 1 1 0 ( ) 0 ( ) y n!a n =