《高等数学》课程教学资源：第九章 重积分（9.5）柱坐标系和球坐标系下的计算法

在柱坐标系和球坐标系下的计

在柱坐标系和球坐标系下的计算

在柱坐标系下的计算法 设M(x,y,z)为空间内一点,并设点M在 xOy面上的投影P的极坐标为r,,则这样的三 个数r,,z就叫点M的柱面坐标 X=rcos =sine M(,y, z) Z=Z 规定: 0<r<+00 P(r,6) 0≤0≤2π <z<+0

一 、在柱坐标系下的计算法 个数 就叫点 的柱面坐标． 面上的投影 的极坐标为 ，则这样的三 设 为空间内一点，并设点 在 r z M xoy P r M x y z M , , , ( , , )           . sin , cos , z z y r x r   x y z o M(x, y,z) P(r, )  r   规定： 0  r  , 0    2,    z  

景 圆柱面 6为常数 半平面 (x,y,=) z为常数 平面 如图,柱面坐标系中的体积元 b(r,⊙ 小hv=rlrl6lz, r 1e 5/(x, y, 2)drdy lIf(rose, rsin 0, z]rdrdalz de

r 为常数 圆柱面  为常数 半平面 z 为常数 平 面  M (x, y,z) P(r, )   r z x y z o 如图，柱面坐标系中的体积元 dv  rdrddz, d r x y z o dz dr rd    f (x, y,z)dxdydz ( cos , sin , ) .    f r  r  z rdrddz

然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先z次r后6 积分限是根据r,0,z在积分区域中的变化范围来确 定 例1∫∫(x2+p2+2M ,2:z=√x2+y2, 解将2投到xoy面得Dx2+y2≤1 0≤6≤2,0≤r≤1,r≤z≤1 (x+y+Xdv=de dr(r+)rdz

然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先 z 次 r 后  积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确 定 r, ,z 例1 ( ) , : , 1 2 2 2 2 2       x y z dv  z x y z  解 将 投到xoy 面得D 1 2 2 x  y  0    2 ,0  r  1,r  z  1            2 0 1 0 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) r x y z dv d dr r z rdz

=2丌(r+ 33 r)dr= 3t 0 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时,通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。 e 例2 ,dd2:z=√x2+y2,乙=1,=2 B√x2+y2

10 3 ) 3 4 3 2 ( 4 1 0 3        r dr r r 注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。 例2 , : , 1, 2 2 2 2 2       dxdydz z x y z z x y e z  