复合函数求导法贝则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 若y=f(u)而u=q(x)可导则复合函数 y=o(x)对x的导数为4=.m dx du dx 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形,主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道,求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别,对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内,在多元函数 微分法中仍然适用,那么为什么还要介绍多元
复合函数求导法则 先回忆一下一元复合函数的微分法则 若y = f (u)而u = (x)可导 则复合函数 y = f[(x)] 对 x 的导数为 dx du du dy dx dy = 这一节我们将把这一求导法则推广到多元函 数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数 微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元
复合函数的微分法和隐函数的微分法呢? 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如z=∫(x2-y2,xy)它是由z=f(u,v) 及u=x2-y2,v=x复合而成的 由于f没有具体给出在求饭,0时 ax ay 元复合函数的微分法则就无能为力了,为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法
复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？ 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数 如 ( , ) 2 2 z = f x − y xy 它是由 z = f (u,v) u = x − y ,v = xy 及 2 2 复合而成的 由于 f 没有具体给出 在求 时 y z x z , 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法
、链式法则 定理如果函数=()及ν=v(t)都在点可 导,函数z=f(u,v)在对应点(,v)具有连续偏 导数,则复合函数x=∫d(),y()在对应点可 导,且其导数可用下列公式计算: dz az du oz dy dt au dt av dt 证设t获得增量Δ, 则△=p(t+△)-p(t),△v=y(t+△)-y(t) 由于函数z=∫(u,ν)在点(,v)有连续偏导数
一、链式法则 定理 如果函数u = (t)及v = (t)都在点t 可 导，函数z = f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏 导数，则复合函数z = f [(t), (t)]在对应点t 可 导，且其导数可用下列公式计算： dt dv v z dt du u z dt dz + = ． 证 设 t 获得增量 t， 则 u = (t + t) − (t), v = (t + t) −(t); 由于函数z = f (u,v)在点(u,v) 有连续偏导数
A=△+△卩十61△+E2△v, 当△M→>0,△ν→0时,E1→>0,E2→>0 △zaz△a z△△u△1 E E △tbu△t △t △t 2 △t 当∧t→>0时,△u→>0,△→0 △ △pdh △tdt △tdt △zOz 0△ t au dt ay dt
, 1 2 v u v v z u u z z + + + = 当u → 0，v → 0时， 1 → 0， 2 → 0 t v t u t v v z t u u z t z + + + = 1 2 当t → 0时， u → 0，v → 0 , dt du t u → , dt dv t v → lim . 0 dt dv v z dt du u z t z dt dz t + = = →
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dz a du az dv o dw 十 dt au dt av dt aw dt 以上公式中的导数称为全导數 at 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况:z=∫[叭(x,y),v(x,y)
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = z u v w t 以上公式中的导数 称为全导数. dt dz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况： z = f[(x, y),(x, y)]