隐函数与参量函数微分法 、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数y=y(x)称为隐函数 y=f(x)形式称为显函数 F(x,y)=0→→y=f(x)隐函数的显化 问题隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
隐函数与参量函数微分法 一 、隐函数的导数 定义:由方程所确定的函数 y y(x)称为隐函数 . y f (x) 形式称为显函数. F(x, y) 0 y f (x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
设F(x,y)=0确定了一元隐函数y=y(x) 将y=y(x)代入F(x,y)=0得=F[x,y(x)≡0 则=0 两边对x求导,当遇到y的函数fU)时 要求的是,If(y)记z=f(y) z→y→>x dz dz dy =fly dx dy de
设F(x, y) 0确定了一元隐函数 y y(x) 将 y y(x)代入F(x, y) 0得 u F[x, y(x)] 0 0 dx du 则 两边对 x 求导，当遇到 y 的函数 f(y)时 [ f ( y)] dx d 要求的是 记 z f ( y) z y x dx dy dy dz dx dz dx dy f ( y)
将求出的这些导数代入=0 得到关于咖的代数方程, 解得=g(x,y)即为所求 至于隐函数求二阶导数,与上同理 在=g(x,y)两边再对x求导 2=G(x,,y)再将①=g(x,y代入
将求出的这些导数代入 0 dx du 得到关于 dx dy 的代数方程， 解得 g( x, y )即为所求 dx dy 至于隐函数求二阶导数，与上同理 在 g x y 两边再对 x求导 dx dy ( , ) ( , , ) 2 2 G x y y dx d y 再将 g(x, y)代入 dx dy
例1求由方程x-e+e"=0所确定的隐函数 y的导数 dx d x=0 解方程两边对x求导 dh e" te 0 dx 解得咖=e-y,由原方程知x=0,y=0, x+e e -y = x=0 X+e
例1 , . 0 0 x x y dx dy dx dy y xy e e 的导数 求由方程 所确定的隐函数 解 方程两边对 x求导, 0 dx dy e e dx dy y x x y 解得 , y x x e e y dx dy 由原方程知 x 0, y 0, 0 0 0 y y x x x x e e y dx dy 1
例2设曲线C的方程为x3+y3=3x,求过C上 点(,)的切线方程,并证明曲线C在该点的法 线通过原点 解方程两边对x求导,3x2+3y2y=3y+3xy 所求切线方程为y2(3 3 即x+y-3=0 法线方程为y 3 2 即y=x,显然通过原点 2
例2 . ) , 2 3 , 2 3 ( 3 , 3 3 线通过原点 点 的切线方程 并证明曲线 在该点的法 设曲线 的方程为 求过 上 C C x y xy C 解 方程两边对 x求导, 3x 3 y y 3 y 3xy 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( 2 2 ) 2 3 , 2 3 ( y x y x y 1. 所求切线方程为 ) 2 3 ( 2 3 y x 即 x y 3 0. 2 3 2 3 法线方程为 y x 即 y x, 显然通过原点