第一个问题由以下定理回答定理8.1（原函数存在性定理）若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即F(x)= f(x).在第九章中将证明此定理前页后页返回
前页 后页 返回 第一个问题由以下定理回答. 定理8.1 (原函数存在性定理) 若函数 在区间 上连续 则 在 上存在原函 f I f I , F x f x ( ) ( ). = 在第九章中将证明此定理. 数 F, 即
定理8.2（原函数族的结构性定理）设F(x)是 f(x)在区间I上的一个原函数,则(i) F(x)+C也是f(x)在I上的原函数,其中C为任意常数(ii)f (x)在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数返回前页后页
前页 后页 返回 定理8.2 (原函数族的结构性定理) 设 是 在区间 上的一个原函数 则 F x f x I ( ) ( ) , (i) ( ) ( ) , F x C f x I C + 也是 在 上的原函数 其中 (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 为任意常数. 一个常数
证 (i) 由(F(x)+C)=F'(x)=f(x), 知 F(x)+C也是f(x)在I上的原函数(ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原函数,则(F(x) -G(x)'= F'(x) -G'(x)= f(x)- f(x)= 0.由第六章拉格朗日中值定理的推论，即知F(x)-G(x)=C.后页返回前页
前页 后页 返回 证 (i) ( ( ) ) ( ) ( ), ( ) 由 知 F x C F x f x F x C + = = + 也是 在 上的原函数 f x I ( ) . (ii) 设 F(x) 和 G(x) 是 f (x) 在 I 上的任意两个原 (F(x) − G(x)) = F(x) − G(x) 由第六章拉格朗日中值定理的推论, 即知 F x G x C ( ) ( ) . − =−= f x f x ( ) ( ) 0. 函数, 则
二、不定积分定义2函数f在区间上的全体原函数称为f在1上的不定积分，记作J f(x)dx ,其中称x为积分变量，f(x)为被积函数f(x)dx为积分表达式，「为积分号若 F(x)是 f(x)的一个原函数,则由定理 8.2,[ f(x)dx=(F(x)+C/ CeR)后页返回前页
前页 后页 返回 f x x ( )d , 二、不定积分 定义2 函数 在区间 上的全体原函数称为 f I f 在 I 上的不定积分, 记作 其中称 x f x 为积分变量, ( ) , 为被积函数 f x x ( )d . 为积分表达式 , 为积分号 若 是 的一个原函数 则由定理 F x f x ( ) ( ) , 8.2, f x x F x C C ( ) d ( ) R . = +
为方便起见,我们记「f(x)dx=F(x)+C. 其中C为任意常数由此,从例1(ii) (ii) (iv)可得：Jx'dx=1'+c,3dxIn(x+ V1+x)+cV1+xJV-'dx--(x/l- +aresinx)+c.后页返回前页
前页 后页 返回 为方便起见, 我们记 f x x F x C ( )d ( ) . = + 其中 由此, 从例 1(ii) (iii) (iv)可得: = + x x x C 2 3 1 d , 3 2 2 d ln( 1 ) , 1 x x x C x = + + + + ( ) 2 2 1 1 d 1 arcsin . 2 − = − + + x x x x x C C 为任意常数