(x10,x20) Ax1 +(x10,x20)DAx2=K1Axl+K2Ax2Ay=ax10ax2这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会很大，都是“小偏差点”。例2-4试把非线性方程z=xy在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=6×11=66.求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点xO,yo，zo处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有z-z0=a (x-x0)+b (y-y0)Oz1asα / =8 = 0 =11式中z6=xxo = x0= 6ay/V=yO因此，线性化方程式为：z-66=11(x-6)+6 (y-11)z=11x+6y-66当x=5，y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=491=2%因此，误差为50-49=1，表示成百分数50第4讲数学工具一拉普拉斯变换与反变换(1）拉氏变换定义设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0dt<Lf(t)e②t>0时，f(t)分段连续Jo则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作F(s)= LLf(t)= f(t)e-" dt(2)拉氏变换基本定理L[a,f(t)+af,(t)=a,F(s)+a,F,(s)·线性定理L[e-" f(t)]= F(s+a)·位移定理Lf(t - t) = e-" F(s)·延迟定理lim f(t)= lim sF(s)·终值定理lim f(t)= lim sF(s)·初值定理( =sF(s)- (0)dt·微分定理)=s"F(s)-(0)-(0)dt?19
19 2 1 1 2 2 2 ( 10, 20) 1 10 ( 10, 20) x K x K x x f x x x x f x x y = + + = 这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会 很大，都是“小偏差点”。 例2-4 试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算 当x=5，y=10时z值所产生的误差。 解： 由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0 =6×11=66. 求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点 x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有 z-z0=a(x-x0)+b(y-y0) 式中 0 11 0 0 = = = = = y x z a y y x x 0 6 0 0 = = = = = x y z b y y x x 因此，线性化方程式为： z-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6y-66 当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50 由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49 因此，误差为50-49=1，表示成百分数 2% 50 1 = 第4讲 数学工具－拉普拉斯变换与反变换 ⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t<0时 f(t)=0 ② t>0时，f(t)分段连续 − f t e dt st 0 ( ) 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 F s L f t f t e dt st − = = 0 ( ) [ ( )] ( ) ⑵拉氏变换基本定理 ·线性定理 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 L a f t + a f t = a F s + a F s ·位移定理 L[e f (t)] F(s a) at = + − ·延迟定理 L[ f (t )] e F(s) s − − = ·终值定理 lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t ⎯→ s ⎯→ = ·初值定理 lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t ⎯→ s ⎯→ = ·微分定理 ] ( ) (0) ( ) [ sF s f dt df t L = − ] ( ) (0) (0) ( ) [ 2 ' 2 2 s F s sf f dt d f t L = − −
F(s)f-(0)L[[f(t)dt] =ss·积分定理(0)di]=F()_(0)f-2(0)s?s2s(3）拉氏反变换F(s)化成下列因式分解形式：B(s)_k(s+z)(s+z2).(s+=m)F(s)= A(s)(s+ p,)(s+ p2)...(s+pn)a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为a_a2a.XF(s)=+...-s+pS+P2s+PnB(s)2(s+ pe)]s--Pkaf=A(s)b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为a,s+a2asanF(s) =.(s+p)s+ p2)Ts+p3s+pnB(s)[a,s+a,],(s+ p,)(s+ p2)]s=-PA(s)c.F(s)含有多重极点时，可展开为b,b,br-a,artF(s) =(s+ p,)r-l(s+pr)"(s+ p.)(s + Prl)(s+ p.)B(s)b, =(s+p)spA(s)d ,B(s)b.)(s+ p,)') s=-pldsA(s)diB(s)1b(s + p,)) s=-pldsA(s)1dr-B(s)b, =2(s+ p,)') s=-pl(r -1) dsr-- lA(s)其余各个极点的留数确定方法与上同。20
20 ·积分定理 − = − s f s F s L f t dt ( ) (0) [ ( ) ] 1 s f s f s F s L f t dt ( ) (0) (0) [ ( ) ] 2 2 1 2 − − = − − ⑶ 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n m s p s p s p k s z s z s z A s B s F s + + + + + + = = a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为 n n s p a s p a s p a F s + + + + + + = 2 2 1 1 ( ) pk k pk s s A s B s a = + =− ( )] ( ) ( ) [ b. F(s)含有共扼复数极点时，可展开为 n n s p a s p a s p s p a s a F s + + + + + + + + = 3 3 1 2 1 2 ( )( ) ( ) 1 1 ( )( )] ( ) ( ) [ ] [ 1 2 s p 1 p2 s p s p s A s B s a s + a =− = + + =− c. F(s)含有多重极点时，可展开为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r r s p a s p a s p b s p b s p b F s + + + + + + + + + + + = + + − − 1 ( ) ] ( ) ( ) [ 1 s p r r s p A s B s b = + =− 1 1 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ s p r r s p A s B s ds d b − = + =− 1 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ ! 1 s p r j j r j s p A s B s ds d j b − = + =− 1 1 1 1 1 ( ) ]} ( ) ( ) { [ ( 1)! 1 s p r r r s p A s B s ds d r b − =− − + − = 其余各个极点的留数确定方法与上同