狭义相对论 第六章第四节 自对论的四维形式 河北师范大学电动力学课程组
河北师范大学电动力学课程组 第六章第四节 相对论理论的四维形式
时空本质上是四维的:3维空间+1维时间。 洛伦兹变换是一种线性变换它体现了四维时空的变换关系 但是这种变换的特征是什么?物理量在坐标变换下怎样变换? 描写物理规律的方程在变换下是否不变? 关于正交变换 1、二维平面上坐标系的转动变换 平面上P点的转动变换满足 x’=xcos+ysnb xsin 6+ ycos6 6 画,a 2 2 x ty =x t X
时空本质上是四维的：3维空间+1维时间。 洛伦兹变换是一种线性变换,它体现了四维时空的变换关系。 但是这种变换的特征是什么？物理量在坐标变换下怎样变换？ 描写物理规律的方程在变换下是否不变？ 一、关于正交变换 1、二维平面上坐标系的转动变换 = − + = + sin cos cos sin y x y x x y 平面上P点的转动变换满足 P x y y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 2 2 x + y = x + y
x cos0 sing(x 12∥x y sin e cos sy)、a21a2人y)正交变换条件 cOS SIn 6 cOS 6 sIn ad sin 0 cos0(-sin 0 cos0 0 1 2、三维空间坐标转动变换 X=Gx+aux+aux 12 13/无 2=a21x1+a22x2+a23x3 22 23/x a x x=a31x1+a3212+a3x3(a1 32 不变量∑x2=∑x2 (=1,2,3)
机动 目录 上页 下页 返回 结束 = − = y x a a a a y x y x 2 1 2 2 1 1 1 2 sin cos cos sin cos sin cos sin 1 0 sin cos sin cos 0 1 aa aa I − = = = = − 2、三维空间坐标转动变换 1 11 1 12 2 13 3 11 12 13 1 1 2 21 1 22 2 23 3 21 22 23 2 2 3 31 1 32 2 33 3 31 32 33 3 3 x a x a x a x a a a x x x a x a x a x a a a x a x x a x a x a x a a a x x = + + = + + = = = + + 正交变换条件 3 1 i ij j j x a x = = ( 1, 2,3) i = 3 3 2 2 1 1 i i i i x x = = 不变量 =
爱因斯坦惯例 凡有重复下标的即要取和, f为自由指标,/为取和指标 X (1) ik wk ∑x2=∑ x22 (2) 证明变换为正交变换 ∑x=∑∑4a=∑∑∑(qxx ij"j ik k (3) 0i≠j 又∑xx=2xx<→xx=xx1=6xx…(4)
爱因斯坦惯例 (1) i ij j x a x = ( ) i ik k il l x a x a x = = (2) i i i i x x x x = ( ) 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 i i ij j ik k ij ik j k i i j k i j k x x a x a x a a x x = = = = = = = = = 3 1 i ij j j x a x = = 3 3 2 2 1 1 i i i i x x = = = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) i i j j jk j k x x x x x x = = (3) i i ij j ik k x x a x a x = 凡有重复下标的即要取和， i为自由指标, j为取和指标． = = = = 3 1 3 1 3 j j k 1 j j j k j k 又 x x x x 证明变换为正交变换 1 0 i j ij i j = =
比较(3)和(4)可得 ik (5) 写成矩阵aa=c=1 (6)(5)与(6) 为正交条件 反变换式:x1=a1x、_ 证明:X=c1n1两边同乘a并对取和 aixi=anai =Si=Si=xI 写成矩阵:x=ax=ax′=a-x
比较（3）和（4）可得 (5) ij ik jk a a = 写成矩阵 (6) a ~ a = aa ~ = I 机动 目录 上页 下页 返回 结束 写成矩阵： x ax = = = 3 i 1 ij i k j k a a （5）与（6） 为正交条件 反变换式： l il i x a x = i ji j 或 x a x = 1 x ax a x − = = a x a a x x x x il i il ij j lj j lj j l = = = = i ij j 两边同乘 ail 证明： x a x = 并对i 取和