打算回去了.一路上,你将被雨水淋湿.个似乎是很简单的事实 是你应该在雨中尽可能地快走,以减少雨淋的时间.事实是不是总 是如此呢?试组建数学模型来探讨在雨中行走的策略,以尽量减少 淋雨量 对于这个实际问题,它的背景简单的,人人皆知无需进一步 论述的.我们的问题是要在一个给定的降雨条件下设计雨中行走 的策略,使得你被雨水淋湿的程度最低 分析参与这一问题的因素,主要有:1.降雨的大小;2.风(降 雨)的方向;3.人的体形;4,行走的速度.对于这些因素,为简化问 题竹研究,我们假设:1.降雨是均匀不变的;2.以定常的速度跑完 全程;3.风向和风速保持不变;4.把人体看成是一个长方形的物 体 为进一步简化这一问题的研究,首先我们讨论最简单的情形, 忽略风向的影响 在这些假设之下,我们可以给出参与我们这个模型的所有的 参数和变量: 雨中行走的距离D(m),雨中行走的时间ts),雨中行走的速 度v(m/s);你的身高h(m),宽度w(m)和厚度d(m),你身上被 淋的雨水的总量C(L).关于降雨的大小,在这里可以用降水强度 单位时间降下雨水的厚度)Icm/h)来描述 问题中的行走距离D,由身体尺寸得到的被雨淋的面积是S =2mh+2h+eud(m2),降水强度I可以认为是不变的,是问题 的参数.雨中行走的速度v,从而在雨中行走的时间t=D/v(s)以 及淋雨量在问题中是随行走的策略不同而变化的,是问题中的变 量 考虑到各参量取值单位的一致性,可以得到在整个雨中行走 期问整个身体被淋的雨水的总量是 21
C=tX( )×S×0.01(m3) 3600 (-)× 360)XS×10(1 模型中的忿数可以邂过观测和H常的调査资料得到.在我们的问 题中假设:1=1000m,h=1.50m,te=0.50m,d=0.20m.由此 可以得到:S-2.2(m2).我们假设降雨的强度是I=2cm/h,在雨 中行走的速度v将是模型中的变量.模型表明,被淋在身上的雨 水的总量与你住雨中行走的速度成反比,如果你在雨中以可能最 决的速度v-6m/s向前跑,于是你在雨中将行走t-167(s)-2 min 47 s 由此可以得到,你的身上被淋的雨水的总量有 C=167×360)×2.2×10(1)=2.04(L) 伃细分析,这是一个荒唐的结果.你在雨中只跑了2min47s 的时间,身上却被淋了2L的雨水(大约有四酒瓶的水量)这是不 可思议的因此这表明,我们得到的这个模型当用来描述耐中行走 的人被雨水淋湿的状况时是不符合实际情况的 按照建模的程序,需要问到对问题所作的假设,性敲这些假设 是否恰当.这时我们发现不考虑风向或降丽的角度的影响这个假 设把问题简化得过于简单了 考虑到降时角度的影响,这时单单使用降雨强度已经不能完 全描述落爾的情况了我们这时必须要考虑到雨滴下落的速度、降 雨的角度以及它们与降雨强度的关系,为此我们假设:1,雨滴下 落的方向是沿着你前进的方向倾斜的.2.雨滴下落的速度是均匀 的这样一来,我们可以用常数r(m/s)表示雨滴下落的速度,用 表示降雨的角度(雨滴下落的方向与你前进的方问之间的夹角) 显然,前面提到的降雨强度将受降雨速度的影响,但它并不完全决 定于降雨的速度·它还受到雨滴下洛的密度的影啊.我们用p来
度量雨滴的密度,称为降雨强度系数,它表示在一定的时刻在单位 体积的空间内由雨滴所占据的空间的比例数.于是有【=p.显 然,p≤1,当p=1时意味着大雨倾盆,有如河流向下倾泻一般 在这个情形下为要估计你被雨水淋湿的程度,关键是考虑到 你在雨中的行走方向之后雨滴相对的下落方向,因为雨水是迎面 而来落下的,由经验可以知道,这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶 部和前方 因此淋在你身上的雨水将分为两部分来计算 首先考虑你的顶部被淋的雨水.顶部的面积是vu,雨滴的速 度的分量是rsin6.不难得到,在时间t=D/v内淋在你的顶部的 雨水量是: d wd(pr in g) 再考虑你的前方表面淋雨的情况.前方的面积是wh,雨速的 水平分量是rcos+v.类似地我们有,你的前方表面被淋到的雨 水的量是: C2=(2)ehp(rcos日+v) 因此,你在整个的行程中被淋到的雨水的总量是 C=C1+C2=pwD drain 0+h(rcos 6+v) 仍然沿用前面得到的参数值,如果假设落雨的速度是 4m/s,由降雨强度I=2cm/h可以估算出它的强度系数p= 1.39×106.把这些参数值代入上式可以得到 C=6.95×10~so.8in+6cos6-+1.57 在这个模型里有关的变量是v和,因为6是落雨的方我们希 望在模型研究过程中改变它的数值;而v是我们要选择的膚中行 走的速度,于是我们的问题就变为给定6,如何选择v使得C是最
小的 下面分各种情况对模型进行讨论: 情形1.6=90° 在这个情形下,因为雨滴垂直落下,由上述模型可得 C=6.95×10-4(1.5+) 模型表明,C是v的减函数,只有当速度取可能的最大值的时候 C达到最小.假设你以v=6m/s的速度在雨中猛跑,由模型可以 得出 C=11.3×104m3=1.13L 情形2.6=60° 这时,因为,雨滴将向迎面向你身上落下.由上述模型可得 C=6.95×10-(1.5+9、4√3+3 同样,它将在v=6m/s时取最小C=14.7×10‘m=1.471 情形3.90°<6<180° 在这种情形下,雨滴将从后面向你身上落下.令0=90°+a,则 0<a<90° C=6.95×104(1.5 0 cos a-6sin 对于充分大的a,这个表达式将取负值.这当然是不合理的,因为 雨水量是不可能为负值的.主要原因是这个情况超出了我们前面 讨论的范围.因此必须回到开始的分析过程对这个情况进行详细 的讨论,按照你在雨中行走的速度分成两种情况 首先考虑τ≤ raina的情形,也就是说你的行走速度慢于雨滴 的水平运动速度.这时雨滴将淋在你的后背上.淋在背上的雨水 的量是pvDh( rsIn a-t)/v.于是淋在全身的雨水的总量应该是 C=pwD ricos a+h(rsin a-v) 24
再次代入数据,我们得到 C=6.95×10-4c0.8cosa+6sina 它也是速度的减函数.当你以可能的最大速度v- rsin a=4sina 在雨中行进时,雨水量的表达式可以化简为 C=6.95×10-:0.8cosa sin a 它表明你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了,如果雨是以120°的角度 落下,也就是说雨滴以α=30°角从后面落在你的背上,你应该以 4sin30=2(m/s)的速度在雨中行走.这时,你身上被淋湿的雨水 的总量是C=6.95×10(0.8√3/2)/2m3=0.24L.实际上,这 意咪着你刚好跟着雨滴向前走,所以身体前后都没有淋到雨.如果 你的速度低于2m/s,则由于雨水落在背上,而使得被淋的雨量 增加 在第二个情形卜,你在雨中的奔跑的速度比较快,要快于雨滴 的水平运动速度2m/s,这时你将不断地追赶雨滴,雨将淋在你 的胸前.被淋的雨量是 Pwh) ui-rsin a 于是全身被淋的雨水的总量是 C=puD dcos ath(u-rsin a) 当7=6m/s且a=30时,我们有C=6.95×10(0.4√3+6)/ 6n3=0.77L. 综合上面的分析,从这个模型我们得到的结论是: .如果雨是迎着你前进的方向向你落下,这时的策略很简 单·应该以最大的速度向前跑 2.如果雨是从你的背后终下,这时你应该控制你莉中的行 走的速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量 25