的数学表达式来表示;而数学模型则可以用数学式,也可以用图、 表来表达,数学模型的结论通常不是封闭的,它需要不断地推广以 适应更复杂的情况,甚至有些模型的结论还是悬而未决有待进 步探讨的 2.从上面的例子中还可以看到,这些例子从内容到方法都迥 然不同.尽管形式相似的模型,由于实际问题的需求不同讨论起来 彼此之间也会有很大差异.因此至少在目前要想给出关于数学模 型和数学建模的系统的理论和方法来是困难的.掌握数学问题解 决中数学建模的技巧的关键是实践,在实践中不断提高我们的建 模水平 3.数学的应用实质上是数学和所研究的实际问题相结合的 结果.一个成功的数学应用成果往往会使我们对所研究的问题的 认识达到更深入的层次,这是当我们使用自然语言来描述一个现 象时很难做到的.数学是各学科可以共同使用的一种科学语言,有 它自已的理论体系;面实际问题则各自显示它们自已的特征和要 求.一个成功的数学的应用必须要把两者沟通建立起它们之间的 紧密联系如上所述数学模型就是架于数学理论和实际问题之间 的桥梁.通过数学模型的组建把数学的语言引入到实际问题;而实 际问题对模型分析的特殊的需求又往往对数学的理论提出新的挑 战,实践证明,要想数学的应用得以成功,将有赖于应用者深厚的 数学基础和他的严格的逻辑思维的训练但仅此是不够的,还要依 赖于他的敏锐的洞察眼光、分析归纳能力以及对实际间题的深入 的理解和广博的知识面.这些在我们传统的数学教学中并没有给 予足够的注意和训练,过坛我们经常形容传统的数学理论和数学 教学是“烧(鱼的)中段”也就是说数学主要着眼于数学内部的理 论结构和它们之间的逻辑关系,没有必要着意讨论和训练如何从 实际何题中提炼出数学问题(鱼头)以及如何使用数学来实现实际 问题提出的特殊的需求(鱼尾)、这个认识在相当长的时间内影响 16
着我们的数学教学工作但是随着社会的进步和科学的发展,这种 认识和做法的不适应性日益显现出来.事实证明,我们现在的年轻 人在接受数学教育的时候仅仅掌握数学理论是不够的,应用数学 知识分析和解决实际间题的能力同样也是一个重要的数学素养, 需要培养、训练、加强和提高.在数学教学中不仅要给学生“烧中 段”,应该使他们得到全面的培养,要给他们“烧全鱼
第二章 数学模型的组建 2.1数学建模 所谓数学建模是指恨据需要针对实际问题组建数学模型的过 程.这个过程在第一章口经作了初步的介绍.特别要指出的是,这 毘!所说的“数学”是指广义的数学,也就是说它除去通常所说的 经典旳数学之外还包括统计学、运婷学以及计算机等 由第一章的例颕我们看到了数学模型涉及的范围相当),无 论在实际问题方面还是在数学的领域.这出问题之间无论在内谷 还是方法上尽管千差万别它们之间有一点是共同的,那就是它们 都是针对一个实际问题,通过辨识问题中变址之间的关系而把实 际问题转化为由数学语亩描述的形式.所有的例题都经历了这样 个过程,与数学方法的使用相比这个过程是建模作的一个明 显的特征.其中对每个例子的处理在方式上有一个非常相似之处 就是通过∫一个程式化的过程来组建数学模型,这是数学建模工 作中的一种有效的处理问题的方式每当我们面对新的实际问题 需要用数学的于段来处坪时,这一程式化的处理方式将为我们提 供ˉ条有效地组建数学模型的途径 数学建模的过程·般包含有若F个有着明显区别的处理阶 段.我们可以用如下的流程图(图2.1)来表示,纸验告诉我们,这 个流程图为我们提供了一个思考问题的框架它不仅能够帮助我 们成功地组建有关的数学模型,而目当你面对个实际的问题感 糾困惑而无法入手建模时,它将给你提供一条思考的途径 18
流程图中的每一个方框表 实际同题 示建模过程的一个阶段.下面我 抽象,化简,假设 们将对每个阶段作一个简要的 确定变量、参数 说明 1.对于面临的实际问题, 组矬数学模型 我们首先需要熟悉实际问题的 背景知识、明确研究的对象和研 估计参数 究的目的.问题所依据的事实和 数据资料的来源是什么 运行模型并使用 问题的实测数据 2.辨识并列出与问题有关 或有关的知识枪 的因素.通过假设把所研究的问 验模型 题进行筒化,明确模型中需要考 虑的因素以及它们在问题中的 <符合否? 作用.以变量和参数的形式表示 是 这些闲素通常在建模之初总是 把问题尽量简化,在最简单的情 分析使用 形下组建模型以降低建模工作图2.1建模过程流程图 的难度.然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际 3.运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之 间的关系,通常它可以用数学表达式来描述,如:比例关系线性或 非线性关系经验关系、输入输出原理、平衡原理、牛顿运动定律、 微分或差分方程、矩阵、概丬、统计分布等,从而得到了所研究问题 的数学模型 4.使用观测数据或实际问题的有关的背景知识对模型中的 参数给出估计值 5.运行所得到的模型,解释模型的结果或把模型的运行结果 与实际观测进行比较.如果模型结果的解释与实际状况相合或结 果与实际观测基本一致,这表明模型经检验是符合实际的,可以将 19
它肘于对实际间题进行进一步的分析讨论.如果模型的结果很难 与实际相合或与实际观测不一致,表明这个模型与所研究的实际 冋题是不符合的,不能直接将它应用于所研究的实际间题.这时如 果数学模型的组建过程和参数的估计没有问题的话,就需要返回 到建模前关于问题的假设.检查我们关于问题所作的假设是否恰 当,检查是否忽略了不应该忽略的因素或者还保留着不应该保留 的因素.对假设给出必要的修,重复前面的建模过程,直到组建 出纶检验是符合实际问题的模型为止 将一个数学模型应用于实际问题时主要是通过对模型作进 步的分析和讨论得到的.使用代数的、分析的或数值的方法给出模 型的解;从理论上讨论解的性质;必要时也可以写出计算程序或者 使用恰当的软件包由计算机进行模拟.把数学上和计算机的运算 上得到的结果再回到实际问题中去,用以对实际问题给出解释,解 决实际问题或加深我们对问题的认识,从而达到使用数学模型研 究实际问题的目的.要注意,由卡我们从数学模型得到的结论的主 要目的是解决实际问题因此当用它来解决实际问题时的语言应 该是非数学工作者所能理解的.这时,过多、过深地使用数学语言 将影响模型的使用效果.要学会使用通俗的语言表达数学上的结 论,使得它能为更多的人所接受 2.2数学建模举例 下面我们给出一个例f来说明如何应用上面所指出的过程组 建数学模型.为便于理解,我们选择日常生活中大家都能遇到的雨 中行走的现象来建模 问题一个雨天,你有件急事需要从家中到学校去学校离家 仅103m,况且事情紧急,你不准备花时间去翻找雨具,决定碰 下运气,顶着雨去学校.假设刚刚出发雨就下起来了,但你也不再 20