一个问题提出给读者思考的是,在上面的第二个情形下,也就 是说当你在雨中奔跑的速度快于雨滴的水平运动速度时,是不是 你跑得燧快就由于你多撞雨点而增加你身上的淋兩量? 所得到的这些结果似乎是合理的并且与我们所期望的是一致 的.我们的第二个更详细的模型对前面的模型的改进之处在于建 模时考虑了落雨射方向并且更全面地考虑了各种可能发生的情 况,似乎更接近实际了·所算出的的淋雨量的结果都比第一个模型 得到的2L要小,所得到的结果的数量级也并不十分离奇,要真正 使用实际的数值结果来验证这个模型是困难的.当然也可以尝试 在雨中行走来验证我们的模型,如果你不介意全身被淋湿的话.即 使如此如何在雨中将你行走速度刚好控制在落雨速度的水平 分量也并非易事 这是一个描述整个建模及其分析过程的一个典型的例子.希 望它能有助于大家更快地掌握数学建模的思路.尽管在本书中或 大家接触到的实例中具体的建模过程会有这样那样的区别,但从 总的思路上是不会有太大的偏离的 26
第三章 量纲分析与轮廓模型 3.1单位与量纲 数学模型是用以解决实际问题的工具.,正如我们前面所见到 的那样,在数学建模过程中我们所处理的变量、参数和常数往往 不是人们在数学上所理解的“纯粹的数”,而是客观事物某些特征 的度丝.他们都是带单位的量,例如:圆管的周长是10cm,某人 跑步的速度是6m/s,这里的“cm”和“m/s”就分别是长度和速度 的测量单位,作为一个测量值如果没有明确它的度量单位,它的 意义是含混的因此在数学建模的过程中必须对测量值的度量单 位给予足够的重视,不可掉以轻心 数学模型中的测量值通常都是以物理量的形式出现的.物理 量当中有一些称为基本的,它们相互独立并可以通过自然规律的 各种定律构成其它的物理量.长度L、质量M时间T等通常都作 为基本物理量,速度、加速度和力等可以通过定义或牛顿运动定 律导出,因此称为导出的(衍生的)物理量.显然基本物理量的度 量单位一旦被确定,衍生的物理量的度量单位也就确定了.因此 物理量的度量单位体系是由基本物理量及其度量单位确定的.我 们把选定的基本物理量及其度量单位称为一个单位制,如通常所 见的CGS(厘米、克、秒制)和MKS(米、千克、秒制)等.现在通用 的单位制是国际单位制(SI制),它由七个基本单位组成:长度T 质量M、时间T、电流强度I、温度⊙、光强J和物质的量N.如表
表3.1国际单位制的基本量及其度量单位 物理量 单位名称 单位符号 长度 米 m 质量 千克 时间 秒 电流强度 安培 温度 开尔文 K 光强 坎德拉 物质的量 摩尔 其他的物理量的单位将是这七个基本量的单位的复合.表3.2列 出∫其他几个常用的物理量及其单位 表3.2一些物理量及其单位 物理量 单位名称 单位符号 力 牛顿 N(kg·m/s2) 能量 焦耳 J(kg·m2/s2) 功率 瓦特 频率 赫兹 Hz(s 压强 帕斯卡 Pa(kg/ms2) 个物理Q一般都可以表示为基本量乘幂之积,则称这个乘幂 之积的表达式 [Q]=LMTr°e,丿N? 为该物理量对选定的这一组基本量的量纲积或量纲,a,B,y,δ, 5,称为量纲拆数.当基本量选定后,任何物理量都有确定的量 28
纲.通常我们用方括号给出物理量的量纲表达式.如在国际单位 制下七个基本量的量纲分别为:[长度]一1,[质量]=M,[时间 =T,[电流强度]=I,[温度]=K,[光强]=J,[物质的量]=N 这时体积的量纲是[体积]=L3,加速度和能量的量纲分别为[加速 度]=LT2,[能量]=ML2T2.物理量的量纲只依赖于基本量的 选择,独立于单位的确定,例如,速度的量纲是IT-1,但它可以 用米/秒或公里/小时为单位来度量.如果对于某个物理量Q有 月==δ=E={=7=0,则它将不依赖于所有的基本物理量,称 之为无量纲量,记为[Q]=1.特别要注意无量纲量不一定是无单 位的量,如角度是个无量纲量,但它却有单位“弧度”或“度” 3.2轮廓模型与量纲分析 数学建模的核心是充分利用实际间题所提供的信息,尽量从 中提取其数学内涵.当实际问题提供的有关信息比较充分时,后面 我们将会介绍各种不同的方法利用这些信息来组建模型.如果问 题所提供的信息非常有限,甚至于我们只知道与所讨论的问题有 关的参量和变量是什么,其他则一无所知时,使用通常的方法组建 数学模型是十分困难的.但使用下面介绍的量纲分析的方法也可 以使我们能够尽量从参与这个问题的那些量当中提取有用的信息 来构建我们的模型,当然所得到的模型是比较粗糙的,但在不少问 题的讨论中有相当的参考价值.我们不妨称这一类模型为轮廓模 型 量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的 一种方法,它主要是利用物理量的量纲所提供的信息,根据量纲 齐次法则来确定物理量之间的关系.所谓量纲齐次法则是指作为 个数学模型或物理规律,其数学表达式的每一个加项的量纲必 须是一致的或者每一项都是无量纲量.也就是说,当描述实际现 29
象时只有量纲相同的项才有可能相比较或相加减,这个法则应该 说是自明的 量纲分析的主要内容是著名的 Buckinghamπ定理.下面我 们用一个例子来说明这个定理的证明过程 例3.1建模描述单摆的运动周期 众所周知,单摆运动是指用细线悬挂的小球离开其平衡位置 后在重力作用下所做的往复运动.为简化间题的讨论,我们假设: 1.小球运动过程中不考虑空气的阻力 2.单摆做平面的体复运动 3.摆线是刚体,在单摆运动过程中不发生形变 4摆轴部分没有摩擦 在上述假设下可知,与单摆运动有关的物理量有:运动周期 摆线长l摆球质量m,重力加速度g和单摆的振幅 这些物理量的量纲分别为:[t]=T,[]=L,[m =LT2,[0]=1 单摆的运动规律与上述的物理量有关,这个规律可以由下面 的式子给出,即 F(r,l,m,g,0)=0. 因此函数的各个加项定有形式x=1m“g10P,因为方程的右 端是无量纲量,式中出现的一定是无量纲的.可得 [π]=7L%M(-2)9=T-20L+2MP=1. 式中的a,=1,…,4将满足下面的线性方程组 2a4=0 a2+a4=0 这个方程组是超定的,方程组的系数矩阵的秩为3,它的解空间 将是一维的.考虑到a的任意性,模型中的五个参数将分布在二 维空间内,取(a4a5)=(1,0)和(a4,a5)=(0,1)分别为解空间的基 30