30 n(辆)13 13 58 (3)请你真正到一个交通路口去做调查,搜集若干路口通过 汽车的数据,检验撙型的有效性, 例1.3铲雪机工作 问題冬天,台铲雪机负责清除10‘m长的一条公路上的 积雪··般当路面积雪达0.5m时,铲雪机就开始工作.如果开始 铲雪后降雪仍然继续·随着路面积雪的加厚,铲雪机工作的速度将 逐渐降低·当积雪过深时铲雪机将不能行动,被迫中止工作 显然降雪的大小直接影响着铲雪机的工作,那么,在雪天,铲 雪机能否顺利完成10m长的路面的除雪工作?当降雪多大时铲 雪机将无法继续工作? 我们可以了解到如下情况和有关的数据: (1)铲雪机开始工作后降雪还将持续一个小时 (2)降雪速度可能随时间变化,最大时积雪的增加量是 0.1 cm/s. (3)积雪厚度达到1.5m时铲雪机将无法工作 (4)铲雪机在无雪的路面上行驶的速度是10m/ 分析解决这个问题首先要明确铲雪机的工作速度与路面积 雪厚度之间的关系,以及由于降雪所引起的路面积雪厚度随时间 而改变的关系,但这些关系在问题中并没有明确地绐出,为建立 模型需从简单情况入手,我们先给出下面的假设: ①降雪的速度保持不变.于是积雪的厚度d(m)将以定常的 速度r(cm/s)增加 ②铲雪机的工作速度v(m/s)是积!厚度d(s)的线性函数 根据假设②和数据(3),(4)可以得到铲雪机的工作速度与积
雪厚度的关系为v=10(1-d/1.5).由假设①在铲雪机开始工作 后时间t时积雪的厚度d-0.5+n/100.将它们合并就得到铲 雪机开始工作后速度的变化v(t)和工作的路面长度S(t)的模 型 (t) 50/·S()=20 330 分析这个模型,不难肴出令v(t)=0关于t求解,得t.= 100/r,它给出了铲雪机一直到由于积雪过深而被迫终止工作所 用的时间.这段时间铲雪机工作的距离为S(t.)=1000/3.由于 铲雪机只负责104m长的路面的清理.因此在作距离内机器被 迫终止工作就相当于1000/37<1000或r>1/30(cm/s),这就是 降雪速度将影响到铋⑤机正常工作的极限值 具体来说,如果大雪以可能的最大速度飘降,即r=0.1(cm/ s).那么可以算出t=1000s=16.67min,S(t.)=3.33×103m. 也就是说铲雪机只工作了不到17min,只清除了三分之一路面上 的积雪就被迫终止工作了,如果降雪不大r=1/40=0.025(cm/ s),则有t,=4000s=66.67min,S(t,)=1333.33m=13.33× l03m.这比要求的104m更长,这表明铲雪机可以完成路面清理 的任务·还可以算出钟雪机实际T作的时间是33.33min 思考: (1)关于匀速降雪的假设①对于持续一小时的降雪来说是不 实际的,尝试修改这一假设,组建嘶的模型继续分析 (2)关于铲雪机工作速废的假设②是基于数学上的简单化而 给出的,从杋械学上讲,应该认为铲雪机的功率是不变的,试根据 这一出发点组建一个更实际更合理的模型 (3)在降雪的过程中,铲雪杋淸理过的路面又会开始积雪.如 果降雪的时间足够长,试建模描述路面积雪的变化和铲雪机工作 12
过程 例1.4人员疏散 问题在意外事件发生的时候,建筑物内的人员是否能有组 织、有秩序地疏散撤离是人们普遍关心的有关人身安全保障的大 问题.对于…个特定的建筑物,管理人员最关心建筑物内所有的人 全部疏散完毕所用时间,以便于安排建筑物的出口以及疏散方案 这个问题以通过反复的实际演习来解决.但多次反复的演习实 际上是不可能的.理想的办法是通过理论的分析来得到 考虑学校的一座教学楼,其中一楼有一排四间教室(图1.2) 学生们可以沿教室外的走道直走到尽头的出口.用数学模型来 分析这四个教室的师生疏散所用的时间 ) L4 C 1 L3 B D L2 A D 图1.2教学楼的平面图 分析这个问题的提法是自然的,但也是很难入手的因为 旦意外事件发生,人员的疏散状况是很难预料的.开始我们需要通 过假设规范我们所研究的问题,我们假设疏散时全体成员秩序井 然地疏散,他们排成单行间隔均匀地匀速向外撤出.这将有利于使 用数学的方法探讨疏散过程中行走的速度和入员的密集程度对疏 散时间的影响.这时疏散队列中入与人之间的距离为常数,记为 dm;设人员是匀速行进的,速度为vm/s;令第i个教室中的人数 为n,+1人;第i个教室的门口到它前面一个教室的门口或出 的距离为l,m;教室门的宽度为1)m;疏散时教室内第一个人到 13
达门凵所用的时间是t,s 首无考虑铭近出∏的第一个教内人员的疏散.这个教撒 空的时间是(n1dx-t)s,而该的最后一个人到达出冂,即全部 撤离的时间是(1x+n1(x+t2)s 类似地.第个教撤空的时间是(n2dx+t)s.而该室内最 斤一个人到达出[所用的时间是(L1+L2+D)v+-nd/x+t)s 但昰在单行撤髙的假下还应该考这两支蜿散队伍可能出现 的重叠的情形.也就是说,当第个教室的第个撒离者到达第 个教室的门日A时,第一个教室内的人还没有疏散完毕.这时如 果两攴队伍同时行进势必造成混乱.因此须要等待第-一个教室撤 空以后第二个教室的队伍馬继续前进,这种情形出现的条件是 (n+1)d v+In>(lz+1)/z+to DX (n+])d>1,+D 由此可以得到这两个教室内的人员(单队)完全撤出教学楼所 用的时间的数学模型是 L1+12+1)+n24+to(n1+1)d≤L2+D, 1+(n+n2+ta, (n1+1)d>2+D 类似地叮以给出四个教室内的人员完全撤出教学楼所用的时 的数学模型 思考 (1)如果教室外的走遒足够宽、可以容许两列队伍冋时并进 这时给出疏散时问的数学模型应该不太困难了 (2)由上面的模型可以看出疏散队伍愈密集(d愈小),全部 人员疏散所用的时问就愈少.但是当d→0时我们发现人员疏散 所用的时间竟与全部需要撤离的人员数毫无关亲.显然这是不合 理的·如何修正这个模型,使得它更加合理. 14
3)由上面的模型还可以看出,疏散的时间将随着队伍捋进 速度的加快而缩短,伃细分析起来,并不尽然如此,经验表明随着 队伍行进速度的加快,队伍中人与人之间的间隔勢必加大,从而又 拖廷了琉散的时问,问題出在这个模型中蘊涵蓄疏散队伍的密集 程庋与队伍的行进速庋毫无关糸的鍛设,事实上当人与人之间的 问膈太小时,密集的间隔肯定要影响队伍的行进速度.这时疏散时 问的数学模型应如何修正? 上面的例子都是发生在我们身边的各种问题中的模型,可以 看出它们的形式各式各样琳琅满目.如果需要的话还可以举出更 多·它表明在我们身边有大址实际问题可以用数学模型来研究 .4几点认识 通过前面的例子可以看到,数学模型和通常我们所见到的 数学问题是不同的.数学问题的叙述是严谨的、明确的,通常它的 答案是唯的、确定的;而数学模型所描述的实际问题有时并不十 分明确,而描述这个问题的模型和答案通常不是唯一的.对于同 个现象可以有不同的模型来描述它,从而会得到不同的答案这些 答案不会是只有一个是对的而其他都是错的,尽管其中的某些在 使用时较之其他的要好些,·般来说数学问题的假设是逻辑推理 过程中的自然推论或是研究范围的一个严格的界定;但对数学模 型来说,假设則是建模者在建模过程中用来明确和简化实际问题 的一个主要的手段,操作起来要灵活得多并且有较高的技巧.数学 问题的分析求解的过程们赖于严格的逻辑推理和恰当的数学L具 和技巧的使用;而数学模型的组建则更多地衣赖于对实际间题的 理解以及以一定的创造性的想象力把白关约变囊按照实际问题的 要求组合一起数学问题的结论是明确内,营它可以使用封闭 15