至于广义相对论、规范场等都是非常成功的数学模型.运筹学以及 统计学的大部分内容都是关于数学模型的讨论和分析.可以说在 数学的发展进程中无时无刻不留下数学模型的印记,在数学应用 的各个领域到处都可以找到数学模型的身影.只不过在当前随着 科学技术的发展,钎门学科的定量化分析的加强以及使用数学工 具来解决各种问题的要求日益普遍的条件下,数学模型作为数学 实现其技术化职能的主要手段之一它的作用显得愈发突出,从而 受到了更加普遍的重视 大量的事实告诉我们,任何一个数学模型都有它自己的实际 背景,都是从特定的实你问题中抽象出来的与数学理论不同,离 开了实际背景而定义的或想象出来的数学表达不可能准确地描述 特定的实际问题.因此,一个好的数学模型必须具有实际背景、有 明确的针对性,要接受实践的检验,并且被证明是正确的、可用的, 这就是它的实践性.这种实践性并非就事论事地讨论实际问题, 而是用数学的语言描述实际问题的本质特征的一次升华.这实质 上是一个抽象的过程这个抽象不同于数学理论中的抽象思维.它 是要求人们从实际问题中抽象出其中的数学内涵.应用性是数学 模型的另一个重要的特征.我们组建数学模型的目的是要应用数 学的知识去解决实际问题,必须要注意到实际问题的要求,必须要 使对模型的分析和讨论落实到使所研究的实际问题得到满意的解 答上,才能实现我们建模的目的.有时,所组建的模型可能是成功 的,但当我们使用数学手段分析这个模型时忽视了实际问题的需 求,很可能得到的结果并不是问题所需要的,这时很难说达到了建 模的目的.数学理论上的自然的结论和常规的研究方法与实际问 题的要求并不总是一致的.因此模型的实用价值印它的实用性是 不容忽视的一个特征.所谓综合性是指一个数学模型所牵涉到的 数学不一定只是数学的某一个分支的内容,往往是数学知识的的 综合的应用.特别是遇到参数估计、模型分析、模型检验和数值结
果的计算时更是如此.而应用于个实际间题的数学模型也不 定只是个模型,它可能是多个数学模型步步地综合分析的结 果.此学习数学模型需要具备较宽的数学基础知识,而使用数学 模型解决实际间题时也应该是有关数学知识的一个综合的应用 个好的数学模型不在于它使用∫多么高深的数学.作为 个成功的模型应该有较强的实际背景,最好是直接针对某个实际 河题的模型应该是经过实际检验表明是可以接受的;模型应该能 够使我们对所研究的冋题有进·步的了解;!月也应该是尽可能 的简单以利于使用者理解和接受的 1.3模型举例 例1.1包扎管道 问题水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护 作用,包扎时用很长的带子缠绕在管道外部·为节省材料,如何进 行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠 这是一个标准的数学问题.在这个问题中为使带子全部包住 管道且带子之间互不重叠,带f的宽度、管道的粗细和缠绕的角度 之间应该存在着一定的关系.找出这个关系就可以进一步讨论如 何根据管道的粗细和带f的宽度确定包扎的方式 为简化对这个问题讨论必须要作如下两个假设: 1.管道是直的其横截面都是圆,而且粗细-致 2.带子的宽度是不变的,可以缠绕得包住全部管道且带子互 不重叠 分析用W(cm)表示带子的宽度,C(cm)表示圆管的周长,日 (°)表示带子的倾斜方向与管道母线垂线的方向之间的夹角 可以通过几何上的分析和理论推导得到这三个量之间关系的 数学表达式,我们设想将缠绕在管道上的带子沿横截面的方向截
l、BC、DE、F 图1.1管道包扎带的平面展开形状 下段展开,平放在平面上(如图1.1所示).注意A,B是管道上 的同一个点.很容易得出这三个变量之间的关系式为 W==Csin 6. 思考 (1)这是一个简洁而明快的数学表达式,但进一步推敲就发 现,真正把它用于实践工作中去是困难的、因为在管道缠绕工作中 角废θ实际上很难测量,几乎没有管道包扎工人在工作中使用这 个公式,如何组建数学模型使它更具有实用价值? (2)能否使所组建的模型给我们一些更深入的结论?譬如,給 定管遒的粗细和带于的宽度,对一定长度的管道,使用模型计算岀 需要准备多长带子就够用了 例1.2交通路口的红绿灯 问题在一个由红绿灯管理下的十字路口,如果绿灯亮15s, 问最多可以有多少汽车通过这个交叉路囗 分析这个问题提得笼统含混.因为十字路口的交通现象是 很复杂的:通过路口的车辆的多少依赖于路面上汽车的型号数量
和它们的行驶的速度和方向以及同时穿过路口的非机动车辆和行 人的状况等,并且还受到交通灯控制策略的影响.因此分析这个问 题必须通过假设来把这个问题简化和明确化 假设 (1)|字路冂的车辆穿行秩序良好,不会发生阻塞 (2)所有车辆都是直行穿过路口,不拐弯行驶,并且仅考虑马 路一侧的车辆. (3)所有的车辆长度相同,并且都是从静止状态开始匀加速启 动 (4)红灯下等待的每相邻两辆车之间的距离相等 (5)前一辆车起动后,下辆车起动的延迟时间相等 对于我们的问题,可以认为在红灯下等待的车队足够长,以至 排在队尾的司机看见绿灯又转为红灯时仍不能通过路口 我们用X轴表示车辆行驶的道路.原点O表示交通灯的位 資,X轴的正向是汽车行驶的方向.以绿灯开始亮时为起始时刻 令L为汽车的车长,D为静止状态时相邻两车之间的距离,T为 相邻两车启动时的延迟时间,由假设(3),(4),(5),它们都是常数 于是在红灯前等待的第1辆汽车刚起动时应该按照匀加速的 规律运动我们可以用公式S1(t)=1a2来描述它,其中S(t)为t 时刻汽车在X轴上的位置,a是汽车起动时的加速度,对于灯前的 第n辆车,则有公式Sn(t)=Sn(0)+2a(t-tn)2,其中S,(0)是起 动前汽车的位置,tn是该车起动的时刻.由假设(3)~(5)可知, Sn(0)==-(n-1)(L+D),tn=(n…1)T.在城市道路上行驶的汽 车都有一个最高时速的限制,为v,(m/s),并假设绿灯亮后汽车 将起动一直加速到可能的最高速度,并以这个速度向前行使.则显 然汽车加速的时间是tn=v./a+t 由上而的分析可以得到绿灯亮后汽车行使的规律是
S(0) 0≤t<tx s(0)+*a(t--tm S,(t)一 tn≤t<tn+ S,(0)+*a(,,--t)-Fv,(t -Ink) t,*st 对于模型的参数值,我们取L=5m,D=2m,T=1s.在城市 的十宇路冂汽车的最高速度一般是4×104m/h,它折合v,=11.1 m/s.进一步需要佔计加速度,经调查大部分司机声称:10s内车 子可以由静止加速到大约26m/s的速度,这时可以算出加速度应 为2.6m/s2,保守一些取汽车的加速度为a=2m/s2.v,/a 5.5 根据这些参数,我们可以计算出绿灯亮至15s红灯再次亮时 每辆汽车的位置如表1.1所示 表1.1绿灯亮至15s汽车的位置 车号123 位置(m)135.7117.6995|81463.3|45.227.19.0|-9.1 从表1.1可见,当绿灯亮至15s时,第八辆汽车已经驶过红绿灯 9m.而第九辆车还距交通灯9.1m不能通过 思考 (1)通过前面的分析你能够对通过红綠灯的汽车的数蚤与绿 灯亮的时间之问的关亲得出什么结论? (2)下面給出四个交通路口绿灯亮时通过的汽车数量的实标 观测数据·通过这些数据你能对前面所建的数学模型作岀评价幺?