第一章 问题解决与数学模型 1.1数学的发展与数学教育的改革 众所周知,数学最引人注目的特点是它的思维的抽象性推理 的严谨性和应用的广泛性.这是在数学发晨的漫长的历程中逐渐 形成的.它来源于人们生产和生活的需要,并对其中有关的空间结 构数量关系的共性不断地抽象、升华而成当今的数学.它的出现 为我们在更深的层次上认识世界提供了一条重要的途径.它的抽 象性和严谨性的特点也成为我们科学地思维和组织构造知识的 个有效的手段;也是使数学作为一门科学而广为人知的特点之 数学的广泛应用性则为各门学科以及人们的生产、生活和社会活 动在定量方面向深层次发展奠定了基础.20世纪以来,由于计算 机的迅速发展和普及,大大增强了数学解决现实问题的能力数学 向社会经济和自然界各个领域的渗透扩展了数学与实际的接触 面.数学在人们社会生活中的作用起了革命性的变化.在当今的 时代,“国家的繁荣富强,关键在于高新的科学技术和高效率的经 济管理.”高新技术的基础是应用科学,而应用科学的基础是数学 高技术的出现使得数学与工程技术之间在更广阔的范围内和更深 刻的程度上直接地相互作用,把我们的社会推进到数学程技术 的新时代.数学以及数学的应用在科学技术、经济建设、商业贸易 和日营生活中所起的作用将愈来愈大,数学科学作为技术改进、经 济发展以及工业竞争的摧动力的重要性也日益显现出来.当前,数 学已经从传统的自然科学和工程技术的基础渗人到现代社会与经
济的各个领域,逐渐成为它们不可缺少的攴柱之∵近30年来,数 学已经开始大步地从科学技术的幕后直接走到前台,出现了在经 济与产业中大显身手的“现代数学技术”学术界在探讨数学科学 的技术基础及其对经济竞争力的作用时也指出:在经济竞争中数 学是不可少的,数学科学是·种关键性的、普遍的、能够实行的技 术,”“高技术的出现把我们的社会推进到数学技术的时代.”数学 的应用特征在当今就显得更加突出和重要 面临新技术革命的挑战,世界各国之间基于高科技的经济竞 争日趋激烈.·个国家要想在竞争之中立于不败之地,关键在于掌 握高新科学技术和培养高素质人才,数学学科在发展高新技术以 及培养高科技人才和提高民族素质中占有特殊重要地位,世界各 国政府都把数学教育的发展和改革看成是新世纪能否在科学技术 和经济的激烈竞争中战胜对手的一个极为重要的环节,20世纪的 后半叶,人们一直尝试对数学教育进行改革,如:众所周知的60年 代的“新数学运动”和70年代的“冋到基础”等.这些试验都因脱离 了学生的实际和科学技术发展的实际而失败.基于这两次数学教 育改革的经验和教训,到80年代,美国数学教育界又提出新的口 号,称为“问题解决( Problem Solving)”.1980年美国全国教师联 合会(NCTM)在一份指导性文件《行动的议程》( An Agenda for Action)中率先指出“必须把问题解决作为80年代中学数学的核 心”,“应当在各年级都介绍数学的应用,把学生引到问题解决中 去”,“在解决问题方面的成绩如何,将是衡量数学教育成收的有效 标准.”这里的“问题解决”主要是指用数学的理论和方法解决实际 问题的能力.因此这个口号的实质是在数学教育中要加强应用数 学解决实际问题的能力的培养.它不仅使得数学教育适应了当前 数学发展的特点,还弥补了在过去的数学教育中,只把数学理解为 训练人们科学思维的工具,在教学上单纯进行演题、运算的训练, 忽视应用、忽视数学同其他科学的联系的不足.因此“问题解决”的
提法越来越受到人们的青睐和重视,目前已经成为国际数学教育 的一大热点.1982年,英国数学教育的指导性文件《 Cockcroft报 告》指出“应将问题解决作为课程论的重要组成部分”,强调“数学 只有在解决各种实际问题的情况下才是有用的.”日本的数学教育 界也普遍认为要把数学教育的重点放在问题解决上,并且把提高 问题解决的能力纳入了1994年实施的《中小学课程改善的方案》 1988年召开的第六届国际数学教育大会就把“问题解决、建模和 应用”列入大会七个主要研究的课题之一认为“问题解决建模和 应用必须成为从中学到大学所有学生的数学课程的一部分”进入 90年代,美国仍在提倡“问题解决”,它表明今天这一改革仍以强 劲的势头不断地深人发展.回顾我国数学教育的改革和发展,大体 上也经历了和国际上一致的过程.当前中小学的“应试教育”仍 重阻碍着教育改革的步伐,必须进行改革.改革中,国际上的这个 趋势是我们必须重视的事实 1.2问题解决与数学模型 在《行动的议程》这份文件中对数学的“问题解决”的内涵作了 进一步的阐述:“数学上题解决’这个词汇应当发展和扩充到包 括各方面数学应用的广泛策略、过程和描述模型离开应用的计算 活动不能叫问题解决问题解决的定义不应当局限于通常的应用 题”“问题解决包括把数学应用于现实世界,为现在和将来的理 论和实践科学服务,和解决伸延到数学科学本身的前沿中的问 题”大体说来,有以下的特点:一是创造性,它往往是非常规的.由 于问题解决般讨论的是现实世界中的实际问题,现实世界的复 杂性往往使得所提的问题并不像常规的“应用题”那样规范,后者 一般都是数学算法或法则的直接套用,而前者一般不是靠熟练操 作就能完成的,需要较多的创新的工作.二是应用性,即给出的问
题往往不是数学化的“已知”、“求训”的模式,而是给出一种现实的 情景,一种实际的需求,以训练学生面对“现实的实际问题”,选择 适当的数学方法解决叫题的能力.二是开放性,问题不一定有解 答案不必唯,条件既川能不足又可以冗余,有较强的探究性,这 样一个对问题解决”的内涵及其特征的理解,实际上与当前在数 学教学上经常提到的“数学模型”或“数学建模”的内涵和持点是 致的·因此我们可以认为“数学模型”是实现“数学问题解决”的基 本手段和主要内容,甚至叮以把“数学模型”理解为“数学问题解 决”的同义语.掌握了常见的数学模型和数学建模的方法将会激发 学生的创造能力,有助于应用数学解决实际问题能力的提高.从而 达到加强“数学问题解决”教育的目的,这也是本书的指导思想和 基本定位 “模型”悬人们用以认识世界的重要手段之一·这里的模型是 针对原型面言的所谓原型是指人们所关心和研究的实际对象而 模型是人们为一定的日的对原型进行的一个抽象,例如大家熟知 的航空模型就是飞机的一个抽象.除了机翼与机身的形状及其相 对位置关系外的一切因素,包括飞机的实际大小都在抽象的过程 中被忽略掉了.虽然它与原型的实际飞机已经相距甚远,但是在飞 行过程中机翼的位置与形状如何影响飞机在空中平稳地滑翔可以 给人们以启迪·城市的交通图是这个城市的-个模型.在这个模 型中城市的人口、车辆、树木、建筑物的形状等都不重要但图中所 展示的街道和一目了然的公共交通线路是任何一个实际置身于城 市中的人很难搞清楚的.由此可见模型来源于原型,但它不是对原 型简单的模仿,它是人们为了深刻地认识和理解原型而对它所作 的一个抽象、升华.有了它就可以使我们通过对模型的分析、研究 加深对原型的理解和认识 在数学的“问题解决”中,应用数学知识去解决各门学科和社 会生产中的实际问题,首先要把实际问题中的数学问题明确地表
述出来,也就是说,要通过对实际问题的分析、归纳给出用以描述 这个间题的数学提法;然后才能使用数学的理论和方法或者计算 机进行分析得出结论;最后再返回去解决现实的实际间题.由于 实际问题的复杂性,往往很难把现成的数学理论直接套用到这些 问题上.必须要在数学理论和所要解决的实际饲题之间构架一个 桥梁加以沟通,以便把实际问题中的数学结构阴确地表示出来.这 个桥梁就是数学模型 般来说,所谓数学模型是指通过抽亲和简化,使用数学语言 对实际现象的一个近似的刻划,以便于人们更深刻地认识所研究 的对象·数学模型不对现实系统的简单的模拟,它是人们对现实 对象进行分析、提炼、归纳、升华的结果,是以数学的语言来精确地 描述现实对象的内在特征,以便于通过数学上的演绎推理和分析 求解深化对所研究的实际现象的认识.例如力学中著名的牛顿第 定律使用公式F=mdx2/d2来描述受力物体的运动规律就是一 个成功的数学模型其中x(t)表示运动的物体在时刻t的位置,m 为物体的质量,而F表示运动期间物体所受的外力.模型忽略了 物体的质地、形状、大小和运动过程中的次要的干扰因素,由于它 抓住了物体受力运动的主要因素这一定律的出现大大深化了力 与物体运动规律的研究工作.又如描述人口N(t)随时间t自由 增长过程的数学模型dN(t)dt=rN(t),尽管由于它忽略了性别 年龄社会经济和自然界的约束条件等许多与人口增长有密切关 系的因素,相对于实际人口的动态来说大大地被简化了.但它所揭 示出的人口成等比级数的增长的结论是人们不得不面对的严酷事 实 数学模型并不是新的事物,很久以来它就一直伴随在我们身 边.可以说有了数学并要用数学去解决实际问题时就一定要使用 数学的语言和方法去近似地刻划这个实际问题,这就是数学模型 数(幣数、有理数、实数等)、几何图形、导数、积分、数学物理方程以