《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第四章 线性多变量系统的综合与设计（2/2）

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 由于所期望的特征方程为 3.6s+9=0 比较式(4.56)和以上方程,可得 k1=296,ka=3.6 或 296 3.6 方法3:采用由式(4.55)给出的爱克曼公式 K。=p( φ'(s)=(s-A1(s-2)=s2+3.6s+9 因此 '(A)=A2+3.6A+9 从而 (A+3.6A+97 10||1 9674.16010 36296101 3.6 当然,无论采用什么方法,所得的K,是相同的。 全维状态观测器由式(4.51)给出为 x=(a-k,c)x+ Bu+K 或者 29.6 36,13.6 与极点配置的情况类似,如果系统阶数n≥4,则推荐方法1和3,这是因为在采用方 法1和3时,所有矩阵都可由计算机实现;而方法2总是需要手工计算包含未知参数 k1,k2,…,kn的特征方程 11

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 11 由于所期望的特征方程为 3.6 9 0 2 s + s + = 比较式（4.56）和以上方程，可得 ke1 = 29.6, ke2 = 3.6 或       = 3.6 29.6 Ke 方法 3：采用由式（4.55）给出的爱克曼公式。             = − 1 0 ( ) 1 * CA C Ke  A 式中 ( ) ( )( ) 3.6 9 2 1 2 *  s = s −  s −  = s + s + 因此 (A) A 3.6A 9I * 2  = + + 从而       =                   =             = + + − 3.6 29.6 1 0 1 0 0 1 3.6 29.6 29.6 74.16 1 0 1 0 0 1 ( 3.6 9 ) 1 2 K A A I e 当然，无论采用什么方法，所得的 Ke 是相同的。 全维状态观测器由式（4.51）给出为 x A K C x Bu K y = − e + + e ~ ( ) ~  或者 u y x x x x       +       +            − − =         3.6 29.6 1 0 ~ ~ 1 3.6 0 9 ~ ~ 2 1 2 1   ------------------------------------------------------------------------------ 与极点配置的情况类似，如果系统阶数 n ≥ 4，则推荐方法 1 和 3，这是因为在采用方 法 1 和 3 时，所有矩阵都可由计算机实现；而方法 2 总是需要手工计算包含未知参数 e e en k ,k , ,k 1 2  的特征方程

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 4.5.9观测器的引入对闭环系统的影响 在极点配置的设计过程中,假设真实状态x(1)可用于反馈。然而实际上,真实状态x() 可能无法测量,所以必须设计一个观测器,并且将观测到的状态x(1)用于反馈,如图4 所示。因此,该设计过程分为两个阶段,第一个阶段是确定反馈增益矩阵K,以产生所期望 的待征方程;第二个阶段是确定观测器的增益矩阵K,以产生所期望的观测器特征方程 现在不采用真实状态x()而采用观测状态x(t)研究对闭环控制系统特征方程的影响 考虑如下线性定常系统 x= Ax+ Bu y=Cx 且假定该系统状态完全能控和完全能观测。 对基于观测状态x的状态反馈控制 u=-Kx 利用该控制,状态方程为 x= Ax-bKx=(A- Bk)x+ BK(x-x) 4.57) 将直实状态xt)和观测状态x()的差定义为误差e(1),即 e(t)=x(1)-X(1) 将误差向量代入式(4.57),得 x=(A- bK)x+ BK (4.58) 注意,观测器的误差方程由式(4.31)给出,重写为 e=(A-kc) 4.59) 将式(4.58)和(459)合并,可得 A-BK BK A-K Cle 式(460)描述了观测-状态反馈控制系统的动态特性。该系统的特征方程为 s/-A+BK -BK 0 A+Kc Sl-A+BKs/-A+KC=0 注意,观测-状态反馈控制系统的闭环极点包括由极点配置单独设计产生的极点和由观 测器单独设计产生的极点。这意味着,极点配置和观测器设计是相互独立的。它们可分别进 行设计,并合并为观测-状态反馈控制系统。注意,如果系统的阶次为n,则观测器也是n 阶的(如果采用全维状态观测器),并且整个闭环系统的特征方程为2n阶的

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 12 4.5.9 观测器的引入对闭环系统的影响 在极点配置的设计过程中，假设真实状态 x(t)可用于反馈。然而实际上，真实状态 x(t) 可能无法测量，所以必须设计一个观测器，并且将观测到的状态 ( ) ~ x t 用于反馈，如图 4.6 所示。因此，该设计过程分为两个阶段，第一个阶段是确定反馈增益矩阵 K，以产生所期望 的待征方程；第二个阶段是确定观测器的增益矩阵 Ke ，以产生所期望的观测器特征方程。 现在不采用真实状态 x(t)而采用观测状态 ( ) ~ x t 研究对闭环控制系统特征方程的影响。 考虑如下线性定常系统 y Cx x Ax Bu =  = + 且假定该系统状态完全能控和完全能观测。 对基于观测状态 x ~ 的状态反馈控制 u Kx ~ = − 利用该控制，状态方程为 ) ~ ( ) ( ~ x  = Ax − BKx = A − BK x + BK x − x (4.57) 将直实状态 x(t）和观测状态 ( ) ~ x t 的差定义为误差 e(t)，即 ( ) ~ e(t) = x(t) − x t 将误差向量代入式（4.57），得 BKe x  = (A− BK)x + （4.58） 注意，观测器的误差方程由式（4.31）给出，重写为 e A K C e e  = ( − ) （4.59） 将式（4.58）和(4.59)合并，可得             − − =      e x A K C A BK BK e x 0 e   (4.60) 式（4.60）描述了观测-状态反馈控制系统的动态特性。该系统的特征方程为 0 0 = − + − + − sI A K C sI A BK BK e 或 sI − A+ BK sI − A+ KeC = 0 注意，观测-状态反馈控制系统的闭环极点包括由极点配置单独设计产生的极点和由观 测器单独设计产生的极点。这意味着，极点配置和观测器设计是相互独立的。它们可分别进 行设计，并合并为观测-状态反馈控制系统。注意，如果系统的阶次为 n，则观测器也是 n 阶的（如果采用全维状态观测器），并且整个闭环系统的特征方程为 2n 阶的

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 由状态反馈〔极点配置)选择所产生的期望闭环极点,应使系统能满足性能要求。观测 器极点的选取通常使得观测器响应比系统的响应快得多。一个经验法则是选择观测器的响应 至少比系统的响应快2~5倍。因为观测器通常不是硬件结构,而是计算软件,所以它可以加 快响应速度,使观测状态迅速收敛到真实状态,观测器的最大响应速度通常只受到控制系统 中的噪声和灵敏性的限制。注意,由于在极点配置中,观测器极点位于所期望的闭环极点的 左边,所以后者在响应中起主导作用。 4.5.10控制器观测器的传递函数 考虑如下线性定常系统 dx+ Bu y=Cx 且假设该系统状态完全能观测,但x不能直接测量。又设采用观测-状态反馈控制为 =-Kx 如图46所示,则观测器方程为 x=(a-k. c)x+ Bu (4.62) 对式(461)取拉普拉斯变换 (s)=-kX(s) (4.63) 由式(462)定义的观测器方程的拉普拉斯变换为 SX(S=(A-K,C)X(s)+BU(S)+KY(s) 设初始观测状态为零,即x(0)=0。将式(463)代入式(464),并对X()求解,可 X(s)=(s/-A+KC+ BK)KY(s) (4.65) 将上述方程代入式(4.63),可得 U(s)=K(s/-A+KC+BK)Key(s) 这里在讨论时,u和y均为纯量。式(465)给出了U(s)和-Y(s)之间的传递函数。 图47为该系统的方块图。注意,控制器的传递函数为 K(S/-A+K,C+ BK 因此,通常称此传递函数为控制器观测器传递函数 U(S=K(sI-A+K,C+BK)-K Y(s)

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 13 由状态反馈（极点配置）选择所产生的期望闭环极点，应使系统能满足性能要求。观测 器极点的选取通常使得观测器响应比系统的响应快得多。一个经验法则是选择观测器的响应 至少比系统的响应快 2~5 倍。因为观测器通常不是硬件结构，而是计算软件，所以它可以加 快响应速度，使观测状态迅速收敛到真实状态，观测器的最大响应速度通常只受到控制系统 中的噪声和灵敏性的限制。注意，由于在极点配置中，观测器极点位于所期望的闭环极点的 左边，所以后者在响应中起主导作用。 4.5.10 控制器-观测器的传递函数 考虑如下线性定常系统 y Cx x Ax Bu =  = + 且假设该系统状态完全能观测，但 x 不能直接测量。又设采用观测-状态反馈控制为 u Kx ~ = − (4.61) 如图 4.6 所示，则观测器方程为 x A K C x Bu K y = − e + + e ~ ( ) ~  (4.62) 对式(4.61)取拉普拉斯变换 ( ) ~ U(s) = −KX s (4.63) 由式（4.62）定义的观测器方程的拉普拉斯变换为 ( ) ( ) ( ) ~ ( ) ( ) ~ sX s A K C X s BU s K Y s = − e + + e (4.64) 设初始观测状态为零，即 (0) 0 ~ x = 。将式（4.63）代入式（4.64），并对 X ~ (s)求解，可 得 ( ) ( ) ( ) ~ 1 X s sI A K C BK K Y s e e − = − + + （4.65） 将上述方程代入式（4.63），可得 ( ) ( ) ( ) 1 U s K sI A K C BK K Y s e e − = − − + + 这里在讨论时，u 和 y 均为纯量。式（4.65）给出了 U(s)和-Y(s)之间的传递函数。 图 4.7 为该系统的方块图。注意，控制器的传递函数为 A KeC BK Ke K sI Y s U s 1 ( ) ( ) ( ) − = − + + − 因此，通常称此传递函数为控制器-观测器传递函数。 A KeC BK Ke K sI Y s U s 1 ( ) ( ) ( ) − = − + + − ------------------------------------------------------------------------------

《现代控制理论基础》第四章(讲义) [例12.3]考虑下列系统的调节器系统设计 Ax+ Bu (4.67) 式中 B C=[0] 60 假设采用极点配置方法来设计该系统,并使其闭环极点为s=pi(i=1,2),其中 =-1.8+j24,2=-1.8-124。在此情况下,可得状态反馈增益矩阵K为 K=[29636 采用该状态反馈增益矩阵K,可得控制输入u为 l=-Kx=-[29636] 假设采用观测-状态反馈控制替代真实状态反馈控制,即 =-K=-[29636 式中,观测器增益矩阵的特征值选择为 现求观测器增益矩阵K。并画出观测-状态反馈控制系统的方块图。再求该控制-观测器的 传递函数U(s)-Y(s)],并画出系统的方块图。 对于由式(467)定义的系统,其特征多项式为 IS/-AE 20.6 s2-206=s2+as+a2 因此 20.6 该观测器的期望特征方程为 (s-2)Xs-2)=(s+8s+8)=s2 =s+as+a 因此 为了确定观测器增益矩阵,利用式(4.50),则有 Ke=r

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 14 [例 12.3] 考虑下列系统的调节器系统设计： x  = Ax + Bu (4.67) y = Cx (4.68) 式中 , [1 0] 1 0 , 20.6 0 0 1 =       =       A = B C 假设采用极点配置方法来设计该系统，并使其闭环极点为 s =μi (i = 1, 2)，其中 1 = −1.8+ j2.4, 2 = −1.8− j2.4 。在此情况下，可得状态反馈增益矩阵 K 为 K = [29.6 3.6] 采用该状态反馈增益矩阵 K，可得控制输入 u 为       = − = − 2 1 [29.6 3.6] x x u Kx 假设采用观测-状态反馈控制替代真实状态反馈控制，即       = − = − 2 1 ~ ~ [29.6 3.6] ~ x x u Kx 式中，观测器增益矩阵的特征值选择为 1 = 2 = 8 现求观测器增益矩阵 Ke 。并画出观测-状态反馈控制系统的方块图。再求该控制-观测器的 传递函数 U(s)/[-Y(s)]，并画出系统的方块图。 对于由式（4.67）定义的系统，其特征多项式为 1 2 2 2 20.6 20.6 1 | | s s a s a s s sI A = − = + + − − − = 因此 a1 = 0, a2 = −20.6 该观测器的期望特征方程为 * 2 * 1 2 2 ( 2 )( 2 ) ( 8)( 8) 16 64 s a s a s s s s s s = + + −  −  = + + = + + 因此 16, 64 * 2 * a1 = a = 为了确定观测器增益矩阵，利用式（4.50），则有         − − = − 1 * 1 2 * 1 2 ( ) a a a a Ke WR

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 式中 01 W 因此 01164+206 K 10|01 1846 16 016 84.6 式(469)给出了观测器增益矩阵K。观测器的方程由式(451)定义,即 x 由于 u=-Kx 所以,式(4.70)为 x=(A-K.C-BK)x+key 1Ix1「16 936-36x2」L846 具有观测状态反馈的系统方块图如图48所示 参照式(466),控制器观测器的传递函数为 K(sl-A+KC+BK) K Y(s) 63 778.16s+3690.72 s2+196s+1512 该系统的方块图如图49所示 设计的观测-状态反馈控制系统的动态特性由下列方程描述。对于系统

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 15 式中       =      =       = = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 [ ] a1 W R C A C T T T T  因此       =            =       − +                   = − 84.6 16 16 84.6 1 0 0 1 16 0 64 20.6 0 1 1 0 1 0 0 1 1 Ke (4.69) 式（4.69）给出了观测器增益矩阵 Ke 。观测器的方程由式（4.51）定义，即 x A K C x Bu K y = − e + + e ~ ( ) ~  (4.70) 由于 u Kx ~ = − 所以，式（4.70）为 x A K C BK x K y = − e − + e ~ ( ) ~  或 y x x y x x x x       +            − − − =       +                  −       −      =         84.6 16 ~ ~ 93.6 3.6 16 1 84.6 16 ~ ~ [29.6 3.6] 1 0 [1 0] 84.6 16 20.6 0 0 1 ~ ~ 2 1 2 1 2 1   具有观测-状态反馈的系统方块图如图 4.8 所示。 参照式（4.66），控制器-观测器的传递函数为 19.6 151.2 778.16 3690.72 84.6 16 93.6 3.6 16 1 [29.6 3.6] ( ) ( ) ( ) 2 1 1 + + + =             + + − = = − + + − − − s s s s s K sI A K C BK K Y s U s e e 该系统的方块图如图 4.9 所示。 设计的观测-状态反馈控制系统的动态特性由下列方程描述。对于系统