《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第四章 线性多变量系统的综合与设计（2/2）

《现代控制理论基础》第四章(讲义) a k 0C4|k2 P K 0CA-2‖k 0 CA 式中 由于P-K是一个n维向量,则 参考式(441),有 PK CP 00…1] 和 P-(A-K.C)P=P-.CP 0 0 0 0 d1 特征方程为 (A-K,C)P=0

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 6                                                 = − − − − − − − − n n n n n n n n e k k k k CA CA CA C a a a a a a P K 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1           式中             = n e k k k K  2 1 由于 P Ke −1 是一个 n 维向量，则             = − − 1 1 1     n n P Ke (4.47) 参考式（4.41），有             =             = − − − 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [0 0 1]                n n n n P KeCP 和 P A KeC P P AP P KeCP 1 1 1 ( ) − − − − = −                 − − − − − − − − = − − − − 1 1 2 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0     a a a a n n n n n n         特征方程为 ( ) 0 1 − − = − sI P A KeC P 即

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 00 6n S 0 a,+0 S+a1+ 或者 a1+d1)"+(a2+2)s (an+n)=0 可见,,6n1,…,61中的每一个只与特征方程系数中的一个相关联。 假设误差动态方程所期望的特征方程为 (s-/1)(S-2)…(s-n) an1s+an=0(4.49) 注意,期望的特征值μ:确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较 式(4.48)和(4.49)的s同幂项的系数,可得 ato=a a, a +d=a 从而可得 δn 于是,由式(4.47)得到 PK 8n-an-1-an-Il 因此 K=P (R) a1 式(4.50)规定了所需的状态观测器增益矩阵K 如前所述,式(4.50)也可通过其对偶问题由式(4.13)得到。也就是说,考虑对偶系 统的极点配置问题,并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵K。那么,状态观测器的增益矩阵

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 7 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 = − + + − + − + + − − − −     s a s a s a s a n n n n n n          或者 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 1 + 1 + 1 + + + + + = − − n n n n n s a  s a  s  a  (4.48) 可见,δn,δn-1,…,δ1 中的每一个只与特征方程系数中的一个相关联。 假设误差动态方程所期望的特征方程为 ( )( ) ( ) 0 * * 1 * 2 2 * 1 − 1 − 2 − = + 1 + + + − + = − − n n n n n s  s   s  n s a s a s  a s a (4.49) 注意，期望的特征值μi 确定了被观测状态以多快的速度收敛于系统的真实状态。比较 式（4.48）和(4.49)的 s 同幂项的系数，可得    + = + = + = n n n a a a a a a     2 2 2 1 1 1 从而可得 n n n a a a a a a = − = − = −        2 2 2 1 1 1 于是，由式（4.47）得到               − − − =             = − − − − 1 * 1 1 * 1 * 1 1 1 a a a a a a P K n n n n n n e      因此               − − − =               − − − = − − − − − 1 * 1 1 * 1 * 1 1 * 1 1 * 1 * ( ) a a a a a a WR a a a a a a K P n n n n n n n n e   (4.50) 式（4.50）规定了所需的状态观测器增益矩阵 Ke 。 如前所述，式（4.50）也可通过其对偶问题由式（4.13）得到。也就是说，考虑对偶系 统的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵 K。那么，状态观测器的增益矩阵

《现代控制理论基础》第四章(讲义) K可由K确定(见例4.16) 旦选择了所期望的特征值(或所期望的特征方程),只要系统完全能观测,就能设计 全维状态观测器。所选择的特征方程的期望特征值,应使得状态观测器的响应速度至少比所 考虑的闭环系统快2~5倍。如前所述,全维状态观测器的方程为 x=(a-K, C)x+ Bu+k] (4.51) 注意,迄今为止,我们假设观测器中的矩阵A和B与实际系统中的严格相同。实际上 这做不到。因此,误差动态方程不可能由式(4.46)给出,这意味着误差不可能趋于零。因 此,应尽量建立观测器的准确数学模型,以使误差小到令人满意的程度 4.56求状态观测器增益矩阵Ke的直接代入法 与极点配置的情况类似,如果系统是低阶的,可将矩阵K。直接代入所期望的特征多项 这可能更为简便。例如,若x是一个三维向量,则观测器增益矩阵K可写为: Ke=k 将该矩阵K代入期望的特征多项式 sI-(A-K C)=(s-W),) 通过使上式两端s的同次幂系数相等,可确定ka、ka2和ka3的值。如果n=12或者3, 其中n是状态向量x的维数,则该方法很简便(虽然该方法用于n=4,5,6…的情况,但涉及 到的计算可能非常繁琐)。 确定状态观测器增益矩阵K。的另一种方法是采用爱克曼公式。下面就介绍这种方法 4.5.7爱克曼公式( Ackermann' s Formula) 考虑如下的线性定常系统 x= Ax+ Bu (4.53) 在42节中,我们已推导了用于式(4.52)定义的系统的极点配置的爱克曼公式,其结 果已由式(4.18)给出,现重写为 K=[00…0lB:AB I-BIo( 对于由式(4.52)和(453)定义的对偶系统 A=+C D n= B 前述关于极点配置的爱克曼公式可改写为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 8 K 可由 T K 确定（见例 4.16）。 一旦选择了所期望的特征值（或所期望的特征方程），只要系统完全能观测，就能设计 全维状态观测器。所选择的特征方程的期望特征值，应使得状态观测器的响应速度至少比所 考虑的闭环系统快 2~5 倍。如前所述，全维状态观测器的方程为 x A K C x Bu Ky = − e + + ~ ( ) ~  (4.51) 注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵 A 和 B 与实际系统中的严格相同。实际上， 这做不到。因此，误差动态方程不可能由式（4.46）给出，这意味着误差不可能趋于零。因 此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使误差小到令人满意的程度。 4.5.6 求状态观测器增益矩阵 e K 的直接代入法 与极点配置的情况类似，如果系统是低阶的，可将矩阵 Ke 直接代入所期望的特征多项 这可能更为简便。例如，若 x 是一个三维向量，则观测器增益矩阵 Ke 可写为：           = 3 2 1 e e e e k k k K 将该矩阵 Ke 代入期望的特征多项式 ( ) ( )( )( ) − − = − 1 − 2 − 3 sI A K C s s s e 通过使上式两端 s 的同次幂系数相等，可确定 e1 k 、 e2 k 和 e3 k 的值。如果 n =1,2 或者 3， 其中 n 是状态向量 x 的维数，则该方法很简便（虽然该方法用于 n = 4,5,6,…的情况，但涉及 到的计算可能非常繁琐）。 确定状态观测器增益矩阵 Ke 的另一种方法是采用爱克曼公式。下面就介绍这种方法。 4.5.7 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑如下的线性定常系统 x  = Ax + Bu (4.52) y = Cx (4.53) 在 4.2 节中，我们已推导了用于式（4.52）定义的系统的极点配置的爱克曼公式，其结 果已由式（4.18）给出，现重写为 [0 0 0 1][ ] ( ) 1 1 * K B AB A B A n  − − =      对于由式（4.52）和(4.53)定义的对偶系统 n B z z A z C T T T =  = +  前述关于极点配置的爱克曼公式可改写为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) K=[00…0Cr:AC∷…:(A)Crp(A)(454) 如前所述,状态观测器的增益矩阵K由K给出,这里的K由式(4.54)确定。从而 C CA CA 0 K。=K=g(A2) =p'(A) P (AR (4.55) CA CA CA CA 式中,φ(s)是状态观测器的期望特征多项式,即 φ'(s)=(s-1)(s-A2)…(s-pn) 这里,1,μ2…,μ是期望的特征值。式(455)称为确定观测器增益矩阵K的爱克曼 公式 4.5.8最优选择的注释 参考图45,应当指出,作为对装置模型修正的观测器增益矩阵K。’通过反馈信号来考 虑装置中的未知因素。如果含有显著的未知因素,那么通过矩阵K的反馈信号也应该比较 大。然而,如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰,则输出y是不可靠的。因此 由矩阵K。引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵K时,应该仔细检查包含在输出y 中的干扰和噪声的影响 应强调的是观测器增益矩阵K依赖于所期望的特征方程 (s-1Xs-2)…(s-Hn)=0 在许多情况中,1,H2,…,n的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作所期 望的特征方程。对于每个期望的特征方程,可有不同的矩阵K。 在设计状态观测器时,最好是在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵 K。这几种不同的矩阵K。必须进行仿真,以评估作为最终系统的性能。当然,应从系统 总体性能的观点来选取最好的K。在许多实际问题中,最好的矩阵K选取,归结为快速响 应及对于扰和噪声灵敏性之间的一种折衷 [例4.2]考虑如下的线性定常系统 =Ax+ Bu y=Cx

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 9 [0 0 0 1][ ( ) ] ( ) T T T T n 1 T 1 * T K C A C A C  A − − =      (4.54) 如前所述，状态观测器的增益矩阵 Ke 由 T K 给出，这里的 Ke 由式（4.54）确定。从而                 =                                 =                                 = = − − − − − − − 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( ) 1 0 0 0 ( ) * 1 1 1 2 * 1 1 2 *     A R  CA CA CA C A CA CA CA C K K A n n n n T T T e    (4.55) 式中， ( ) *  s 是状态观测器的期望特征多项式，即 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 * n  s = s −  s −   s −  这里，μ1, μ2, …,μn 是期望的特征值。式（4.55）称为确定观测器增益矩阵 Ke 的爱克曼 公式。 4.5.8 最优 e K 选择的注释 参考图 4.5，应当指出，作为对装置模型修正的观测器增益矩阵 Ke ，通过反馈信号来考 虑装置中的未知因素。如果含有显著的未知因素，那么通过矩阵 Ke 的反馈信号也应该比较 大。然而，如果由于干扰和测量噪声使输出信号受到严重干扰，则输出 y 是不可靠的。因此， 由矩阵 Ke 引起的的反馈信号应该比较小。在决定矩阵 Ke 时，应该仔细检查包含在输出 y 中的干扰和噪声的影响。 应强调的是观测器增益矩阵 Ke 依赖于所期望的特征方程 (s − 1 )(s −  2 )(s −  n ) = 0 在许多情况中，μ1, μ2, …,μn 的选取不是唯一的。有许多不同的特征方程可选作所期 望的特征方程。对于每个期望的特征方程，可有不同的矩阵 Ke 。 在设计状态观测器时，最好是在几个不同的期望特征方程的基础上决定观测器增益矩阵 Ke。 这几种不同的矩阵 Ke 必须进行仿真，以评估作为最终系统的性能。当然，应从系统 总体性能的观点来选取最好的 Ke 。在许多实际问题中，最好的矩阵 Ke 选取，归结为快速响 应及对于扰和噪声灵敏性之间的一种折衷。 ------------------------------------------------------------------------------ [例 4.2] 考虑如下的线性定常系统 y Cx x Ax Bu =  = + 式中

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 020.6 A B C=[01 设计一个全维状观测器。设系统结构和图45所示的相同。又设观测器的期望特征值为 1=-1.8+j2 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵K,为此先检验 能观测性矩阵,即 [C: AC 的秩为2。因此,该系统是完全能观测的,并且可确定期望的观测器增益矩阵。我们将用3 种方法来求解该问题 方法1:采用式(450)来确定观测器的增益矩阵。由于该状态矩阵A已是能观测标准 形,因此变换矩阵P=(WR)=1。由于给定系统的特征方程为 20.6 I S/-AF 20.6=s 0 因此 0.6 观测器的期望特征方程为 (s+18-124)s+1.8+24)=s2+36s+9=s2+as+a2 因此 3.6, 故观测器增益矩阵K。可由式(4.50)求得如下 10T9+20.61「296 K。=(WR) 3.6-0 3.6 方法2:参见式(4.31) (A-K,C) 定义 k1 K 则特征方程为 01「02061「k 20.6+k k =s2+k2s-20.6+k1=0

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 10 , [0 1] 1 0 , 1 0 0 20.6 =       =       A = B C 设计一个全维状观测器。设系统结构和图 4.5 所示的相同。又设观测器的期望特征值为 1 = −1.8+ j2.4, 2 = −1.8− j2.4 由于状态观测器的设计实际上归结为确定一个合适的观测器增益矩阵 Ke ，为此先检验 能观测性矩阵，即       = 1 0 0 1 [ ] T T T C  A C 的秩为 2。因此，该系统是完全能观测的，并且可确定期望的观测器增益矩阵。我们将用 3 种方法来求解该问题。 方法 1：采用式（4.50）来确定观测器的增益矩阵。由于该状态矩阵 A 已是能观测标准 形，因此变换矩阵 P = WR = I −1 ( ) 。由于给定系统的特征方程为 20.6 0 1 20.6 | | 1 2 2 2 = − = + + = − − − = s s a s a s s sI A 因此 a1 = 0, a2 = −20.6 观测器的期望特征方程为 * 2 * 1 2 2 (s +1.8 − j2.4)(s +1.8 + j2.4) = s + 3.6s + 9 = s + a s + a 因此 3.6, 9 * 2 * a1 = a = 故观测器增益矩阵 Ke 可由式（4.50）求得如下       =      − +       =         − − = − 3.6 29.6 3.6 0 9 20.6 0 1 1 0 ( ) 1 * 1 2 * 1 2 a a a a Ke WR 方法 2：参见式（4.31） e  = (A− KeC) = 0 定义       = 2 1 e e e k k K 则特征方程为 20.6 0 1 20.6 [0 1] 1 0 0 20.6 0 0 2 1 2 2 1 2 1 = + − + = − + − +  =      +      −      e e e e e e s k s k s k s k k k s s (4.56)