《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第四章 线性多变量系统的综合与设计（2/2）

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 20.60 -{2963.6 对于观测器 x1.「16 93:6-36x2」[846 作为整体而言,该系统是4阶的,其系统特征方程为 s-A+B‖-A+KC|=(2+36s+9%s2+16s+64) s4+196s3+130.6s2+3744s+576=0 该特征方程也可由图49所示的系统的方块图得到。由于闭环传递函数为 Y(s) 778.16s+3690.72 R(s)(s2+196s+151.2s2-20.6)+778.16s+3690.72 则特征方程为 (s2+19.6s+151.2s-20.6)+778.16s+3690.72 s4+196s3+13062+3744s+576=0 事实上,该系统的特征方程对于状态空间表达式和传递函数表达式是相同的。 4.5.11最小阶观测器 迄今为止,我们所讨论的观测器设计都是重构所有的状态变量。实际上,有一些状态 变量可以准确测量。对这些可准确测量的状态变量就不必估计了。 假设状态向量x为n维向量,输出向量y为可量测的m维向量。由于m个输出变量是 状态变量的线性组合,所以m个状态变量就不必进行估计,只需估计n-m个状态变量即可 因此,该降维观测器为n-m阶观测器。这样的n-m阶观测器就是最小阶观测器。图410所 示为具有最小阶观测器系统的方块图

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 16       = −       =       +            =      2 1 2 1 2 1 2 1 ~ [29.6 3.6] [1 0] 1 0 20.6 0 0 1 x x u x x y u x x x x    对于观测器 y x x x x       +            − − − =         84.6 16 ~ ~ 93.6 3.6 16 1 ~ ~ 2 1 2 1   作为整体而言，该系统是 4 阶的，其系统特征方程为 19.6 130.6 374.4 576 0 ( 3.6 9)( 16 64) 4 3 2 2 2 = + + + + = − + − + = + + + + s s s s sI A BK sI A K C s s s s e 该特征方程也可由图 4.9 所示的系统的方块图得到。由于闭环传递函数为 ( 19.6 151.2)( 20.6) 778.16 3690.72 778.16 3690.72 ( ) ( ) 2 2 + + − + + + = s s s s s R s Y s 则特征方程为 19.6 130.6 374.4 576 0 ( 19.6 151.2)( 20.6) 778.16 3690.72 4 3 2 2 2 = + + + + = + + − + + s s s s s s s s 事实上，该系统的特征方程对于状态空间表达式和传递函数表达式是相同的。 ------------------------------------------------------------------------------ 4.5.11 最小阶观测器 迄今为止，我们所讨论的观测器设计都是重构所有的状态变量。实际上，有一些状态 变量可以准确测量。对这些可准确测量的状态变量就不必估计了。 假设状态向量 x 为 n 维向量，输出向量 y 为可量测的 m 维向量。由于 m 个输出变量是 状态变量的线性组合，所以 m 个状态变量就不必进行估计，只需估计 n-m 个状态变量即可， 因此，该降维观测器为 n-m 阶观测器。这样的 n-m 阶观测器就是最小阶观测器。图 4.10 所 示为具有最小阶观测器系统的方块图

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 图410具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统 如果输出变量的测量中含有严重的噪声,且相对而言较不准确,那么利用全维观测器可 以得到更好的系统性能 为了介绍最小阶观测器的基本概念,又不涉及过于复杂的数学推导,我们将介绍输出为 纯量(即m=1)的情况,并推导最小阶观测器的状态方程。考虑系统 x= dx+Bu =CX 式中,状态向量x可划分为x2(纯量)和x6(n-1维向量)两部分。这里,状态变量x等于输出 y,因而可直接量测,而x6是状态向量的不可量测部分。于是,经过划分的状态方程和输出 方程为 (4.71) Bh [1:j 式中,A∈R,A4n∈Rlm),A∈Rn1,Ab∈Rm),Bn∈R1,Bb∈R(n1 由式(471),状态可测部分的状态方程为 Agra +A bxb+ b 或 xa -aaa -,u=Aabb 式(4.73)左端各项是可量测的。式(4.73)可看作输出方程。在设计最小阶观测器时,可 认为式(473)左端是已知量。因此,式(473)可将状态的可量测和不可量测部分联系起 来 由式(4.71),对于状态的不能量测部分 Ahx Abb b,u 74)

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 17 图 4.10 具有最小阶观测器的观测-状态反馈控制系统 如果输出变量的测量中含有严重的噪声，且相对而言较不准确，那么利用全维观测器可 以得到更好的系统性能。 为了介绍最小阶观测器的基本概念，又不涉及过于复杂的数学推导，我们将介绍输出为 纯量（即 m = 1）的情况，并推导最小阶观测器的状态方程。考虑系统 y Cx x Ax Bu =  = + 式中，状态向量 x 可划分为 a x (纯量)和 b x (n-1 维向量)两部分。这里，状态变量 a x 等于输出 y，因而可直接量测，而 b x 是状态向量的不可量测部分。于是，经过划分的状态方程和输出 方程为 u B B x x A A A A x x b a b a ba bb aa ab b a           +                     =                   (4.71)           = b a x x y [1  0]  (4.72) 式中， 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) 1 , , , , ,   − −  −  −  −        n a b n n b b n b a n Aa a R Aa b R A R A R B R B R 。 由式（4.71），状态可测部分的状态方程为 x  a = Aaa xa +Aab xb + Bau 或 a aa a a ab b x  − A x − B u =A x (4.73) 式（4.73）左端各项是可量测的。式（4.73）可看作输出方程。在设计最小阶观测器时，可 认为式（4.73）左端是已知量。因此，式（4.73）可将状态的可量测和不可量测部分联系起 来。 由式（4.71），对于状态的不能量测部分 x  b = Aba xa + Abb xb + Bbu (4.74)

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 注意,Abax和Bb这两项是已知量,式(4.74)为状态的不可量测部分的状态方程 下面将介绍设计最小阶观测器的一种方法。如果采用全维状态观测器的设计方法,则最 小阶观测器的设计步骤可以简化 现比较全维观测器的状态空间表达式和最小阶观测器的状态空间表达式。 全维观测器的状态方程为 Ax+ Bu 最小阶观测器的状态方程为 xb=abb+ abax a Bu 全维观测器的输出方程为 最小阶观测器的输出方程为 Bu=A 因此,最小阶观测器的设计步骤如下: 首先,注意到全维观测器由式(4.51)给出,将其重写为 x=(A-k.C)x+Bu+key 然后,将表4.1所做的替换代入式(4.75),可得 x=(Abb -ke Ab)xb+ Abax a +B,u+ke( -Bu) (4.76 式中,状态观测器增益矩阵K。是(n-1)×1维矩阵。在式(476)中,注意到为估计x,需 对x微分,这是不希望的,因此有必要修改式(476)。 表41给出式(476)的最小阶状态观测器方程所做的替换 全维状态观测器 最小阶状观测器 AbaxatBbul A B u Aab K K。[(n-1)×1矩阵 注意到x=y,将式(4.76)重写如下,可得 xb-Kex=(abb-keaabxb+Aba -keaa)y+(bb -ke B)u (Abb -Ke Abxrb-key)+[(abb-ke Ab)ke+ Aba -kealy+(4.7 + B,-Ke Ba)u 定义

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 18 注意，Ab axa 和 Bbu 这两项是已知量，式（4.74）为状态的不可量测部分的状态方程。 下面将介绍设计最小阶观测器的一种方法。如果采用全维状态观测器的设计方法，则最 小阶观测器的设计步骤可以简化。 现比较全维观测器的状态空间表达式和最小阶观测器的状态空间表达式。 全维观测器的状态方程为 x  = Ax + Bu 最小阶观测器的状态方程为 x  b = Abb xb + Aba xa + Bbu 全维观测器的输出方程为 y = Cx 最小阶观测器的输出方程为 b a aa a a ab b y = x  − A x − B u =A x 因此，最小阶观测器的设计步骤如下： 首先，注意到全维观测器由式（4.51）给出，将其重写为 x A K C x Bu K y = − e + + e ~ ( ) ~  (4.75) 然后，将表 4.1 所做的替换代入式（4.75），可得 ( ) ~ ( ) ~ xb = Abb − KeAab xb + Aba xa + Bbu + Ke x  a − Aaa xa − Bau  (4.76) 式中，状态观测器增益矩阵 K e 是(n-1)×1 维矩阵。在式（4.76）中，注意到为估计 b x ~ ，需 对 a x 微分，这是不希望的，因此有必要修改式（4.76）。 表 4.1 给出式(4.76)的最小阶状态观测器方程所做的替换 全维状态观测器 最小阶状观测器 x ~ b x ~ A Abb Bu Ab axa+Bbu y x  a − Aaa xa − Bau C Aab K e (n×1 矩阵) K e [(n-1)×1 矩阵] 注意到 xa = y，将式（4.76）重写如下，可得 B K B u A K A x K y A K A K A K A y x K x A K A x A K A y B K B u b e a b b e a b b e b b e a b e b a e a a b e a b b e a b b b a e a a b e a ( ) ) [( ) ] ~ ( )( ( ) ( ) ~ ( ) ~ + − = − − + − + − + −  = − + − + −  (4.77) 定义