y=2x3r+0-K2+13x.3x-x (3x+l) (3x+ 例5求函数y=广+y丘-2+的导数 y-xtxi_2 XX y=-2+e x 12 注求导简便方法： 1、化积商为和差：2、利用三角恒等变换进行化简：3、化假分式为多项式与真分式的和. 例6求函数y=(hVxe)的导数. 解 y=he)=hx+与， 例7求函数y=了++-2的导数 x-1 解 y-+2-23-31=423+d x-1 y=2x+2-x-1 例8求函数y=+2+2的导数 x2(1+x) 1 4 解 例9求函数y=2+30s的导数 3sinx
25 解 2 2 2 (3 1) ( 1)3 (3 1) x x x x y x + − + = + 2 2 3 (3 1) x x x − = + . 例 5 求函数 2 2 x x x e y x + − + = 的导数. 解 1 2 2 x e y x x x x − = + − + ， 3 2 2 2 1 2 1 2 x x x e e y x x x − − = − + + 3 2 2 1 2 1 2 x x e e x x x − − = − + + . 注 求导简便方法： 1、化积商为和差；2、利用三角恒等变换进行化简；3、化假分式为多项式与真分式的和. 例 6 求函数 (ln ) x y = xe 的导数. 解 (ln ) x y = xe x x 2 1 ln 2 1 = + ， 2 1 2 1 = + x y . 例 7 求函数 3 2 2 1 x x x y x + + − = − 的导数. 解 3 2 2 2 2 3 3 1 1 x x x x x y x − + − + − + = − 2 1 2 3 1 x x x = + + + − ， 2 1 2 2 ( 1) y x x = + − − . 例 8 求函数 2 2 2 2 (1 ) x x y x x + + = + 的导数. 解 2 1 2 1 y x x = + + ， 2 3 1 4 (1 ) y x x = − − + . 例 9 求函数 2 3cos 3sin x y x + = 的导数
2 思考：f"(x)与[fx川之区别. 练习思2.2 求函数的导数： l.y=xsinx+ln2x+V元. 2.y=secx.arcsinx. 4.yx-hx X 5.y=e"arcsin x 6.y=r+2x+3 tanx x2+1 7.y=In(x'e22") 8y=-+2x+3 x+1 sincoan 9.y=1-c0s2x 10.y=x2Igxsinx. 2.3复合函数求导法 对于复合函数y=f((x》,则有y=f(0),u=p(x).我们前面求导数总是应用运 算法则直接对自变量求导，但多数场合是不能这样。 例如求)y=ln2x的导数就不能直接用公式(hx=， 否则就会发生错误 正确答案： y'=(In2x)'=(In2+Inx)= 错误答案： y=0n2x=2 比较之下，错误答案的原因是把2x当成了自变量.如何解决这个问题，有以下的法则： 设y=f(0对u可导，u=p(x)对x可导，则复合函数y=f((x》也可导，且有 名-成ow国会-盘器 这样回过头再求y=ln2x的导数就不成问题了：y=lnu,u=2x(中间变量u和自 变量x共有两个)，即
26 解 2 csc cot 3 y x x = + ， 2 2 csc cot csc 3 y x x x = − − . 思考： ( ) 0 f x 与 [ ( )] 0 f x 之区别. 练习题 2.2 求函数的导数： 1． y x x x = + + sin ln 2 . 2． y x x = sec arcsin . 3． sin ( ) 1 cos x f x x = − . 4． x x x x x x y 2 ln 3 3 2 − − + − = . 5． x e x y x tan arcsin = . 6. 2 2 2 3 1 x x y x + + = + . 7. 3 2 ln( 2 ) x x y x e = . 8. 3 2 2 3 1 x x x y x − + + = + . 9． 2 2 2 sin cos 2 2 tan 1 cos x x y x x − = − . 10. 2 y x x x = lg sin . 2．3 复合函数求导法 对于复合函数 y = f ((x)) ，则有 y = f (u)，u = (x) . 我们前面求导数总是应用运 算法则直接对自变量求导，但多数场合是不能这样. 例如求 y x = ln 2 的导数就不能直接用公式 1 (ln ) x x = ， 否则就会发生错误. 正确答案： 1 y x x (ln 2 ) (ln 2 ln ) x = = + = . 错误答案： 1 (ln 2 ) 2 y x x = = 比较之下，错误答案的原因是把 2x 当成了自变量. 如何解决这个问题，有以下的法则： 设 y = f (u) 对 u 可导， u = (x) 对 x 可导，则复合函数 y = f ((x)) 也可导，且有 x uux y = y 或 y f (u) (x) x = 或 dx du du dy dx dy = . 这样回过头再求 y x = ln 2 的导数就不成问题了： y u = ln ，u = 2x （中间变量 u 和自 变量 x 共有两个），即
y=a或4-或-会 u 求复合函数的导数可分两步： 第一步（关键步骤）先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变 量是什么？ 第二步再逐一求导后相乘， 具体解题过程在写法上可采取两种 例1求函数y=cos(sin(1-2x)》的导数 解法1 y=cos(sin(1-2x)可分成：y=cosu,4=sinv,v=1-2x. y=uv,(cosu)(sinv).(1-2x),=-sinu-cosv.(-2) =-sin(sin(1-2x)-cos(1-2x)-(-2)=2cos(1-2x)-sin(sin(1-2x). 等上述写法熟练后，中间变量可不写出（记在心里）. 解法2 y'=-sin(sin(1-2x)X(sin(1-2x))'=-sin(sin(1-2x))-cos(1-2x)-(1-2x) =-sin(sin(1-2x)-cos(1-2x)-(-2)=2cos1-2x)sin(sin(1-2.x). 例2求函数y=sin32x的导数. 解法2 y=3sin22x2.(sin2x2)=3sin22x2.cos2x2.(2x2) =3sin2 2x2.cos2x2.4x=12x.sin22x2.cos2x2 解法3 y=3sin22x2.cos2x2.4x =12x-sin22x2.cos2x2. 例3求y=e3函数的导数 解 y=e2(3xy=3e2. 例4求y=(2x2-3x)函数的导数
271 2 1 (ln ) (2 ) 2 u x x y u u x u x x = = = = . 求复合函数的导数可分两步： 第一步(关键步骤) 先将复合函数分为若干个简单函数，辨明各函数的中间变量和自变 量是什么？ 第二步 再逐一求导后相乘. 具体解题过程在写法上可采取两种： 例 1 求函数 y x = − cos(sin(1 2 )) 的导数. 解法 1 y x = − cos(sin(1 2 )) 可分成： y u = cos ，u = sin v ，v x = −1 2 . u v x y = y u v (cos ) (sin ) (1 2 ) u v x = − u v x = − − sin cos ( 2) u v = − − − − sin(sin(1 2 )) cos(1 2 ) ( 2) x x = − − 2cos(1 2 ) sin(sin(1 2 )) x x . 等上述写法熟练后，中间变量可不写出(记在心里). 解法 2 y x x = − − − sin(sin(1 2 ))(sin(1 2 )) = − − − − sin(sin(1 2 )) cos(1 2 ) (1 2 ) x x x = − − − − sin(sin(1 2 )) cos(1 2 ) ( 2) x x = − − 2cos(1 2 ) sin(sin(1 2 )) x x . 例 2 求函数 3 2 y x = sin 2 的导数. 解法 2 2 2 2 y x x = 3sin 2 (sin 2 ) 2 2 2 2 = 3sin 2 cos2 (2 ) x x x 2 2 2 = 3sin 2 cos 2 4 x x x 2 2 2 = 12 sin 2 cos 2 x x x . 解法 3 2 2 2 y x x x = 3sin 2 cos2 4 2 2 2 = 12 sin 2 cos 2 x x x . 例 3 求 3x y e = 函数的导数. 解 3 3 (3 ) 3 x x y e x e = = . 例 4 求 2 3 y x x = − (2 3 ) 函数的导数
y=32x2-3x)2.(4x-3) 例5求函数y=√anr-e的导数. 解 yzmce) sec2 x+3ex 2/tanx-e 例6求函数y=m3江+30c2x的导数 x sicsinec2xt2x X 3xsin6x-2sin2sextan 2x 例7求函数y=F.cot2x.2的导数. 解 222.2s2m2- -号om2x-2Fow2x2-2Fam2x2 练习题2.3 1.y=(2x-3)3 2.y=arccot(1-3x). 3.y=Ininx 4.y=2sin(x2-2x) i.y=em时 6.y=In(x++a)(a>0). 7.y=csc1+2x 8.y=sin3(-x2+l). 9.y=(x+e') 10.y=In(cscx-cotx)
28 解 2 2 y x x x = − − 3(2 3 ) (4 3) . 例 5 求函数 3 tan x y x e − = − 的导数. 解 2 3 2 3 3 3 1 sec 3 (sec 3 ) 2 tan 2 tan x x x x x e y x e x e x e − − − − + = + = − − . 例 6 求函数 2 2 sin 3 sec2 x y x x = + 的导数. 解 2 2 4 2sin3 cos3 3 sin 3 2 sec2 tan 2 2 x x x x x y x x x − = + 2 3 3 sin 6 2sin 3 2sec2 tan 2 x x x x x x − = + . 例 7 求函数 3 2 3 cot 2 2 x y x x − = 的导数. 解 1 2 3 3 2 2 3 2 3 3 3 cot 2 2 ( csc 2 ) 2 2 cot 2 2 ln 2 ( 3) 3 x x x y x x x x x x − − − − = + − + − 3 2 2 3 2 3 3 3 3 2 1 cot 2 2 2 csc 2 2 3ln 2 cot 2 2 3 x x x x x x x x x − − − = − − . 练习题 2.3 1. 3 y x = − (2 3) . 2. y x = − arccot(1 3 ) . 3. y = ln ln x . 4. 2 y x x = − 2sin( 2 ) . 5. 1 cot x y e = . 6. ( ) ( ) 2 2 y x x a a = + + ln 0 . 7. 3 y x = + csc 1 2 . 8. 3 2 y x = − + sin ( 1) . 9. 2 ( )x x e y x + = . 10. y x x = − ln(csc cot )