第12章拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的基本工具,在实际工程领域中得到了广泛的应用 拉普拉斯变换的核心问题是把以t为变量的时间函数f(1)与以复频率s为变量的复变函数 F(s)联系起来,即把时域问题通过数学变换后成为频域问题,把时间函数的线性常系数常微 分方程化为复变函数的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作逆变换,从而得到待求的时 域函数 本章的学习重点: 拉普拉斯变换的定义及其基本性质; 拉普拉斯反变换的分解定理 电路定律的复频域形式,运算电路及其分析方法等 ●利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应 12.1拉普拉斯的定义 1、学习指导 (1)时域分析和复频域分析 前面第8章中,我们对一阶和二阶动态电路在时域中进行了分析,时域分析的主要优点 是物理概念比较清晰,而且对常见的一阶电路运算也相当简捷。但是对含有多个动态元件且电 路结构比较复杂时,应用时域分析法的电路求解过程就变得相当繁杂,为此引入建立在拉普拉 斯变换这一数学基础上的运算法。运算法也称为电路的复频域分析法,它能将时域中的微分和 积分运算变换为复频域中的代数运算,从而把时域中的微分或积分方程变换为复频域中的代数 方程,并且在变换的开始阶段就把初始条件考虑在内,所得结果就是电路的全响应,使二阶电 路的分析计算变得简单而且有效。 (2)拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的核心问题,就是把以时间t作为变量的时间函数f(t)通过数学变换后用 个以复频率s为变量的复变函数F(s)来代替,从而将时域问题转化为频域问题,把时间 函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程,在求出待求的复变函数后,再作拉氏 反变换,最后得到待求的时间函数 用拉普拉斯变换的方法分析电路,与前面的章节有着相当大的差异。但是,拉普拉斯变 换所揭示的电路规律和概念与前面所讲得基本相同,只是更深入些。学习本章内容时,要了解
159 第 12 章 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的基本工具，在实际工程领域中得到了广泛的应用。 拉普拉斯变换的核心问题是把以 t 为变量的时间函数 f（t）与以复频率 s 为变量的复变函数 F（s）联系起来，即把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数常微 分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作逆变换，从而得到待求的时 域函数。 本章的学习重点： ⚫ 拉普拉斯变换的定义及其基本性质； ⚫ 拉普拉斯反变换的分解定理； ⚫ 电路定律的复频域形式，运算电路及其分析方法等； ⚫ 利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。 12．1 拉普拉斯的定义 1、学习指导 （1）时域分析和复频域分析 前面第 8 章中，我们对一阶和二阶动态电路在时域中进行了分析，时域分析的主要优点 是物理概念比较清晰，而且对常见的一阶电路运算也相当简捷。但是对含有多个动态元件且电 路结构比较复杂时，应用时域分析法的电路求解过程就变得相当繁杂，为此引入建立在拉普拉 斯变换这一数学基础上的运算法。运算法也称为电路的复频域分析法，它能将时域中的微分和 积分运算变换为复频域中的代数运算，从而把时域中的微分或积分方程变换为复频域中的代数 方程，并且在变换的开始阶段就把初始条件考虑在内，所得结果就是电路的全响应，使二阶电 路的分析计算变得简单而且有效。 （2）拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的核心问题，就是把以时间 t 作为变量的时间函数 f（t）通过数学变换后用 一个以复频率 s 为变量的复变函数 F（s）来代替，从而将时域问题转化为频域问题，把时间 函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作拉氏 反变换，最后得到待求的时间函数。 用拉普拉斯变换的方法分析电路，与前面的章节有着相当大的差异。但是，拉普拉斯变 换所揭示的电路规律和概念与前面所讲得基本相同，只是更深入些。学习本章内容时，要了解
拉普拉斯变换的基本原理及其性质,理解和掌握用拉普拉斯变换分析和计算线性电路的方法及 其步骤,熟悉复频域形式的电路定律,理解电路的复频域分析变换到时域分析的原理。 2、学习检验结果解析 (1)何谓拉普拉斯变换?何谓拉普拉斯反变换? 解析:拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的一种数学工具,它可以把时域函数∫(1)变 换成复频域函数F(s)。在拉氏变换中,一个时域函数f(t)惟一地对应一个复频域函数F(s); 反过来,一个复频域函数F(s)惟一地对应一个时域函数∫(1)。若已知时域函数∫(t)求解 其复频域函数F(s)的过程,称为拉普拉斯变换;将复频域函数F(s)形式的解变换成时域 函数∫(t)形式的解的过程,称为拉普拉斯反变换。 (2)什么是原函数?什么是反函数?二者之间的关系如何? 解析:拉普拉斯变换中的原函数就是时域函数∫(t),一般用小写表示;反函数就是指复 频域函数F(s),也称为象函数,一般用大写字母表示。例如电压原函数为u(1),其象函数 (反函数)为U(s)。二者之间的关系可用拉普拉斯变换的定义来表示,即: F(s= f(redr 12.2拉普拉斯变换的基本性质 、学习指导 (1)基本性质 拉氏变换有许多重要的性质,如线性性质、微分性质和积分性质等。利用这些性质可以很 方便地求得一些较为复杂的函数的象函数,同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中 的代数方程 2、学习检验结果解析 (1)拉普拉斯变换有哪些性质 解析:(式中f(1)和f(t)是两个任意的时间函数,它们的象函数分别为F1(s)和 F2(s),A1和A2是两个任意常数。)拉氏变换的主要基本性质有: ①线性性质:L[4f1()±B()=AF1(s)±BF2(s); ②微分性质:Lf(1)=sF(s)-f(0) ③积分性质:,=·L(o)= ④延迟性质:Lf(t-10)=e“F(s)
160 拉普拉斯变换的基本原理及其性质，理解和掌握用拉普拉斯变换分析和计算线性电路的方法及 其步骤，熟悉复频域形式的电路定律，理解电路的复频域分析变换到时域分析的原理。 2、学习检验结果解析 （1）何谓拉普拉斯变换？何谓拉普拉斯反变换？ 解析：拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的一种数学工具，它可以把时域函数 f（t）变 换成复频域函数 F（s）。在拉氏变换中，一个时域函数 f（t）惟一地对应一个复频域函数 F（s）； 反过来，一个复频域函数 F（s）惟一地对应一个时域函数 f（t）。若已知时域函数 f（t）求解 其复频域函数 F（s）的过程，称为拉普拉斯变换；将复频域函数 F（s）形式的解变换成时域 函数 f（t）形式的解的过程，称为拉普拉斯反变换。 （2）什么是原函数？什么是反函数？二者之间的关系如何？ 解析：拉普拉斯变换中的原函数就是时域函数 f（t），一般用小写表示；反函数就是指复 频域函数 F（s），也称为象函数，一般用大写字母表示。例如电压原函数为 u（t），其象函数 （反函数）为 U（s）。二者之间的关系可用拉普拉斯变换的定义来表示，即： − − = 0 F(s) f (t)e dt st 12．2 拉普拉斯变换的基本性质 1、学习指导 （1）基本性质 拉氏变换有许多重要的性质，如线性性质、微分性质和积分性质等。利用这些性质可以很 方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中 的代数方程。 2、学习检验结果解析 （1）拉普拉斯变换有哪些性质？ 解析： （式中 f1（t）和 f2（t）是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为 F1（s）和 F2（s），A1 和 A2 是两个任意常数。）拉氏变换的主要基本性质有： ① 线性性质： [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 1 2 L Af t Bf t = AF s BF s ； ② 微分性质： [ '( )] ( ) (0 ) = − − L f t sF s f ③ 积分性质： s F s L f t s L f t dt t ( ) [ ( )] 1 [ ( ) ] 0 = • = ④ 延迟性质： [ ( )] ( ) 0 0 L f t t e F s −st − =
(2)利用拉普拉斯变换的性质,对我们解决问题能带来何种收益? 解析:利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数,同时 也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程,利用这些性质课本中总结出了一些 常用的时间函数的拉氏变换。 12.3拉普拉斯反变换 1、学习指导 (1)拉氏反变换 本章的重点是利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。分析过程中,如遇比较简单的 函数可以直接查拉氏变换表得到,对于较为复杂的函数,则应先进行恰当的数学处理,把一个 较为复杂的函数分解为几个简单项之和,使得这些简单项都可在拉氏变换表中查到,这种方法 称为分解定理,是拉普拉斯反变换的主要方法。 (2)分解定理 分解定理分析问题的基本思想,就是把一个复杂的、在拉普拉斯变换表中找不到的象函 数F(s),分解成为能够在拉普拉斯变换表中容易找到的多个象函数,这样就可以很方便地从 拉氏变换表中查到它们所对应的原时域函数∫(1),最后再进行线性组合即可得到待求的时域 函数∫(1)。应用分解定理时应注意 ①若F(s)是假分式,必须将分子除以分母将F(s)化为真分式或展开成几个真分式的 多项式之和 ②若F(s)是真分式,但分母的根有重根时,应注意部分分式的表达情况不一样 2、学习检验结果解析 (1)在求拉氏反变换的过程中,出现单根、共轭复根和重根时如何处理 解析:求拉氏反变换的过程中,若 ①F2(S)=0有n个单根,且设n个单根分别为p、p、…、pn,于是F2(s)可以展开为 h()= +k_+…+k (126) PI p, S-P 式中k、k、k、……、k为待定系数。这些系数可以按下述方法确定,即把上式两边同 乘以(s-p1),得 6-p(o=4+(-p2(++ p2 P 令s=p,则等式除右边第一项外都变为零,即可求得 k1=s-P1)F(S)]=p 同理可得k2=【(s-P2)F(S)]2
161 （2）利用拉普拉斯变换的性质，对我们解决问题能带来何种收益？ 解析：利用拉普拉斯变换的性质可以很方便地求得一些较为复杂的函数的象函数，同时 也可以把线性常系数微分方程变换为复频域中的代数方程，利用这些性质课本中总结出了一些 常用的时间函数的拉氏变换。 12．3 拉普拉斯反变换 1、学习指导 （1）拉氏反变换 本章的重点是利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。分析过程中，如遇比较简单的 函数可以直接查拉氏变换表得到，对于较为复杂的函数，则应先进行恰当的数学处理，把一个 较为复杂的函数分解为几个简单项之和，使得这些简单项都可在拉氏变换表中查到，这种方法 称为分解定理，是拉普拉斯反变换的主要方法。 （2）分解定理 分解定理分析问题的基本思想，就是把一个复杂的、在拉普拉斯变换表中找不到的象函 数 F（s），分解成为能够在拉普拉斯变换表中容易找到的多个象函数，这样就可以很方便地从 拉氏变换表中查到它们所对应的原时域函数 f（t），最后再进行线性组合即可得到待求的时域 函数 f（t）。应用分解定理时应注意： ①若 F（s）是假分式，必须将分子除以分母将 F（s）化为真分式或展开成几个真分式的 多项式之和； ②若 F（s）是真分式，但分母的根有重根时，应注意部分分式的表达情况不一样。 2、学习检验结果解析 （1）在求拉氏反变换的过程中，出现单根、共轭复根和重根时如何处理？ 解析：求拉氏反变换的过程中，若 ①F2(s)＝０有 n 个单根，且设 n 个单根分别为 p1、p2、…、pn ，于是 F2(s)可以展开为 n n 2 2 1 1 ( ) s p k s p k s p k F s − + + − + − = （12.6） 式中 k1、k2、k3、……、kn 为待定系数。这些系数可以按下述方法确定，即把上式两边同 乘以（s-p1），得 − + + − − = + − n n 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) s p k s p k s p F s k s p 令 s= p1，则等式除右边第一项外都变为零，即可求得 1 [( ) ( )] 1 1 s p k s p F s = − = 同理可得 2 [( ) ( )] 2 2 s p k s p F s = − =
k,=[-Pn)F(s)Issp 所以求待定系数k的公式为 k=[(s-P1)F(S)=F=1,2,3,…,n 另外,把(126)两边同乘以(sp),再令s→P,然后引用数学中的罗比塔法则,则有 k,= lim F(S(s-Pi)_(s-Pi)F1(s)+Fi(s_Fi(P F2(s) F2(S) F2(P1) 因此,求待定系数k的另一公式为 K:= F1(s) i=1,2,3,…,n 确定了待定系数后,对应的原函数为 f(=L-[F(s)]=k,eP!+k2eP2+.+k, e Pn ②当F2(s)=0有共轭复根时,设共轭复根为P1=a+jo,p2=a-jO,则 k1 F1( F1(s) F2(S) F2(S) 显然k、k也为共轭复数,设k=ke,k2=k,则有 f()=kea+oy+kemmy=|kpea+omy+k/eey =ke Te/ox+) e- (o+]=2 k, le" cos(ot+0) ③若F2(S)=0具有重根时,设p1为F2(s)=0的双重根,P为其余单根(i从2开始),则 F(s)可分解为 F(s)= (12.7) P1(s-p1)2 p2 对于单根,仍采用前面的方法计算。要确定k1、k12,将式(10.5)两边同乘(sp)2,即 (12.8) 则k1被单独分离出来,得 再对式(12.8两边对s求一次导数,k2被单独分离出来,得 (s-p)2F(s) 如果F2(s)=0具有多重根时,利用上述方法可以得到各系数,即有 (q-1)! (s-P1)F(s)
162 …… pn n n s k s p F s = − = [( ) ( )] 所以求待定系数 ki 的公式为 pi i i s k s p F s = − = [( ) ( )] i=1，2，3，…，n 另外，把（12.6）两边同乘以（s-pi），再令 s→pi，然后引用数学中的罗比塔法则，则有 ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) lim ( ) ( )( ) lim 2 1 2 1 1 2 1 i i i s p i s p i F p F p F s s p F s F s F s F s s p k i i = − + = − = → → 因此，求待定系数 ki 的另一公式为 i n F s F s K pi s i 1， 2， 3， ， ' ( ) ( ) 2 1 = = = 确定了待定系数后，对应的原函数为 p t n p t p t n f t = L F s = k e + k e + + k e ( ) −1 [ ( )] 1 1 2 2 ② 当 F2(s)＝０有共轭复根时，设共轭复根为 p1 = + j, p2 = − j ，则 s j s j F s F s k F s F s k = + = − = = ' ( ) ( ) ' ( ) ( ) 2 1 2 2 1 1 ， 显然 k1、k2 也为共轭复数，设 1 1 1 1 2 1 , j j k k e k k e − = = ，则有 [ ] 2 cos( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 1 1 1 1 = + = + = + = + + − + + − + − − k e e e k e t f t k e k e k e e k e e t j t j t t j t j t j j t j j t ③ 若 F2(s)＝０具有重根时，设 p１为 F2(s)＝０的双重根，pi 为其余单根（i 从２开始），则 F(s)可分解为 + − + − + − = 2 2 2 1 11 1 12 ( ) ( ) s p k s p k s p k F s （12.7） 对于单根，仍采用前面的方法计算。要确定 k11、k12，将式(10.5)两边同乘(s-p1) ２，即 + − − = − + + − 2 2 2 1 12 11 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) s p k s p F s s p k k s p （12.8） 则 k11 被单独分离出来，得 1 ( ) ( ) 2 11 1 s p k s p F s = = − 再对式(12.8)两边对 s 求一次导数，k12 被单独分离出来，得 1 [( ) ( )] 2 12 1 s p s p F s ds d k = − = 如果 F2(s)＝０具有多重根时，利用上述方法可以得到各系数，即有 1 [( ) ( )] ( 1)! 1 1 1 1 1 s p q q q q s p F s ds d q k − = − − − =
12.4应用拉氏变换求解线性电路 1、学习指导 (1)运算法求解电路时应注意的问题 实际当中,复变函数的代数方程要比时域微分方程更有规律求解起来更为简便。在研究 用拉普拉斯变换求解线性电路问题时,我们应特别注意以下几个方面 ①附加电源的参考方向与时域响应的参考方向保持一致 ②运算电路中的运算阻抗(或运算导纳),实际上是正弦稳态电路中阻抗(或导纳)概 念的扩展,因此求解的基本步骤相似 ③应用拉普拉斯变换分析线性电路时,注意时域分析中的各量均要由频域分析中的象函 数代替,时域分析中的复阻抗用运算阻抗代替,并注意附加电源的正确处理,则时域分析的相 量法中所有的分析方法和定理在形式上就可完全适用于运算法。 2、学习检验结果解析 (1)对单个正弦半波,你能否求出其拉氏变换? 解析:单个正弦半波是线性时变函数,不在拉氏变换的范畴,因此无法求出其拉氏变换 (2)对零状态线性电路进行复频域分析时,能否应用叠加定理?若为非零状态,即运算 电路中存在附加电源时,能否应用叠加原理? 解析:零状态线性电路的复频域分析中,不需要应用叠加定理。若电路为非零状态时, 可应用叠加定理:即先求出零状态响应,再求出零输入响应,将二者叠加后可得到全响应 第12章章后习题解析 *12.1求下列各函数的象函数: (1)f()=sn(o+q) (2)f()=e(1-a) (3)f(1)=tcos(a) (4)f(t)=t+2+36(1) 解:利用表12.1可方便地求出各象函数分别为 (D F(s)=LIsin( ot +p)]=l sin( ot+o)e"dt s●smq+ ocos g (2)F(s)=Le-(1-a)]=e-d(1-a)e-dt= (s +a (3)F(s)=L[tcos(a )]=J t cos(a )e"dr=1+a2)2 (4)F(s)=Lt+2+36(m)=【+2+36(je"dt
163 12．4 应用拉氏变换求解线性电路 1、学习指导 （1）运算法求解电路时应注意的问题 实际当中，复变函数的代数方程要比时域微分方程更有规律求解起来更为简便。在研究 用拉普拉斯变换求解线性电路问题时，我们应特别注意以下几个方面。 ① 附加电源的参考方向与时域响应的参考方向保持一致。 ② 运算电路中的运算阻抗（或运算导纳），实际上是正弦稳态电路中阻抗 （或导纳）概 念的扩展，因此求解的基本步骤相似。 ③ 应用拉普拉斯变换分析线性电路时，注意时域分析中的各量均要由频域分析中的象函 数代替，时域分析中的复阻抗用运算阻抗代替，并注意附加电源的正确处理，则时域分析的相 量法中所有的分析方法和定理在形式上就可完全适用于运算法。 2、学习检验结果解析 （1）对单个正弦半波，你能否求出其拉氏变换？ 解析：单个正弦半波是线性时变函数，不在拉氏变换的范畴，因此无法求出其拉氏变换。 （2）对零状态线性电路进行复频域分析时，能否应用叠加定理？若为非零状态，即运算 电路中存在附加电源时，能否应用叠加原理？ 解析：零状态线性电路的复频域分析中，不需要应用叠加定理。若电路为非零状态时， 可应用叠加定理：即先求出零状态响应，再求出零输入响应，将二者叠加后可得到全响应。 第 12 章 章后习题解析 *12.1 求下列各函数的象函数： （1） f (t) = sin(t +) （2） f (t) e (1 t) t = − − （3） f (t) = t cos(t) （4） f (t) = t + 2 + 3 (t) 解：利用表 12.1 可方便地求出各象函数分别为 2 2 0 sin cos 1 ( ) [sin( )] sin( ) + • + = + = + = − − s s F s L t t e d t （） st 2 0 ( ) 2 ( ) [ (1 )] (1 ) + = − = − = − − − − s s F s L e t e t e dt （ ） t t st 2 2 2 2 2 0 ( ) 3 ( ) [ cos( )] cos( ) + − = = = − − s s F s L t t t t e d t （ ） s t − − = + + = + + 0 4 F(s) L[t 2 3 (t)] [t 2 3 (t)]e d t st （ ）