第3章单相正弦交流电路的基本知识 前面两章所接触到的电量,都是大小和方向不随时间变化的稳恒直流电。本章介绍的单相 正弦交流电,其电量的大小和方向均随时间按正弦规律周期性变化,是交流电中的一种。这里 随不随时间变化是交流电与直流电之间的本质区别 在日常生产和生活中,广泛使用的都是本章所介绍的正弦交流电,这是因为正弦交流电 在传输、变换和控制上有着直流电不可替代的优点,单相正弦交流电路的基本知识则是分析和 计算正弦交流电路的基础,深刻理解和掌握本章内容,十分有利于后面相量分析法的掌握 本章的学习重点: 正弦交流电路的基本概念 正弦量有效值的概念和定义,有效值与最大值之间的数量关系; 三大基本电路元件在正弦交流电路中的伏安关系及功率和能量问题。 3.1正弦交流电路的基本概念 学习指导 (1)正弦量的三要素 正弦量随时间变化、对应每一时刻的数值称为瞬时值,正弦量的瞬时值表示形式一般为解 析式或波形图。正弦量的最大值反映了正弦量振荡的正向最高点,也称为振幅 正弦量的最大值和瞬时值都不能正确反映它的作功能力,因此引入有效值的概念:与一个 交流电热效应相同的直流电的数值定义为这个交流电的有效值。正弦交流电的有效值与它的最 大值之间具有确定的数量关系,即L=√21。 周期是指正弦量变化一个循环所需要的时间:频率指正弦量一秒钟内所变化的周数:角频 率则指正弦量一秒钟经历的弧度数,周期、频率和角频率从不同的角度反映了同一个问题:正 弦量随时间变化的快慢程度 相位是正弦量随时间变化的电角度,是时间的函数:初相则是对应t=0时刻的相位,初相 确定了正弦计时始的位置 正弦量的最大值(或有效值)称为它的第一要素,第一要素反映了正弦量的作功能力 角频率(或频率、周期)为正弦量的第二要素,第二要素指出了正弦量随时间变化的快慢程度 初相是正弦量的第三要素,瞎经确定了正弦量计时始的位置 个正弦量,只要明确了它的三要素,则这个正弦量就是唯一地、确定的。因此,表达一
38 第 3 章 单相正弦交流电路的基本知识 前面两章所接触到的电量，都是大小和方向不随时间变化的稳恒直流电。本章介绍的单相 正弦交流电，其电量的大小和方向均随时间按正弦规律周期性变化，是交流电中的一种。这里 随不随时间变化是交流电与直流电之间的本质区别。 在日常生产和生活中，广泛使用的都是本章所介绍的正弦交流电，这是因为正弦交流电 在传输、变换和控制上有着直流电不可替代的优点，单相正弦交流电路的基本知识则是分析和 计算正弦交流电路的基础，深刻理解和掌握本章内容，十分有利于后面相量分析法的掌握。 本章的学习重点： ⚫ 正弦交流电路的基本概念； ⚫ 正弦量有效值的概念和定义，有效值与最大值之间的数量关系； ⚫ 三大基本电路元件在正弦交流电路中的伏安关系及功率和能量问题。 3．1 正弦交流电路的基本概念 1、学习指导 （1）正弦量的三要素 正弦量随时间变化、对应每一时刻的数值称为瞬时值，正弦量的瞬时值表示形式一般为解 析式或波形图。正弦量的最大值反映了正弦量振荡的正向最高点，也称为振幅。 正弦量的最大值和瞬时值都不能正确反映它的作功能力，因此引入有效值的概念：与一个 交流电热效应相同的直流电的数值定义为这个交流电的有效值。正弦交流电的有效值与它的最 大值之间具有确定的数量关系，即 I m = 2I 。 周期是指正弦量变化一个循环所需要的时间；频率指正弦量一秒钟内所变化的周数；角频 率则指正弦量一秒钟经历的弧度数，周期、频率和角频率从不同的角度反映了同一个问题：正 弦量随时间变化的快慢程度。 相位是正弦量随时间变化的电角度，是时间的函数；初相则是对应 t=0 时刻的相位，初相 确定了正弦计时始的位置。 正弦量的最大值（或有效值）称为它的第一要素，第一要素反映了正弦量的作功能力； 角频率（或频率、周期）为正弦量的第二要素，第二要素指出了正弦量随时间变化的快慢程度； 初相是正弦量的第三要素，瞎经确定了正弦量计时始的位置。 一个正弦量，只要明确了它的三要素，则这个正弦量就是唯一地、确定的。因此，表达一
个正弦量时,也只须表达出其三要素即可。解析式和波形图都能很好地表达正弦量的三要素, 因此它们是正弦量的表示方法。 (2)相位差 相位差指的是两个同频率正弦量之间的相位之差,由于同频率正弦量之间的相位之差实 际上就等于它们的初相之差,因此相位差就是两个同频率正弦量的初相之差。注意:不同频率 的正弦量之间是没有相位差的概念而言的 相位差的概念中牵扯到超前、滞后、同相、反相、正交等术语,要求能够正确理解,要 注意超前、滞后的概念中相位差不得超过±180°:同相即两个同频率的正弦量初相相同:反 相表示两个同频率正弦量相位相差180°,注意180°在解析式中相当于等号后面的负号:正 交表示两个同频率正弦量之间的相位差是90 2、学习检验结果解析 (1)何谓正弦量的三要素?三要素各反映了正弦量的哪些方面? 解析:最大值(或有效值)反映了正弦量的作功能力:角频率(或周期、频率)反映了 正弦量随时间变化的快慢程度;初相确定了正弦量计时始的位置,它们是正弦量的三要素。 (2)一个正弦电流的最大值为100mA,频率为2000Hz,这个电流达到零值后经过多长 时间可达50mA? 解析:由题目给出的条件可知,此正弦电流的周期等于 2000 由零值到达50mA需经历的时间为 p=arcsin =30°=z 6 个周期T是2π,所以 612,因此 T t=-×500≈41.7s (3)两个正弦交流电压m1= Ulmsin(on+60V,l2=U2msin(2ω+45°)V。比较哪个超前哪 个滞后? 解析:这两个正弦量由于不属于同频率的正弦量,因此它们之间无法比较相位差。 (4)有一电容器,耐压值为220V,问能否用在有效值为180V的正弦交流电源上? 解析:这个电容器若接在有效值为180V的电源上,则该电源的最大值为180×1.414≈ 255V,这个值大于电容器的耐压值220V,因此不能把它用在有效值为180V的正弦交流电源 (5)一个工频电压的初相为30°,在t=时的值为(-268)V,试求它的有效值
39 个正弦量时，也只须表达出其三要素即可。解析式和波形图都能很好地表达正弦量的三要素， 因此它们是正弦量的表示方法。 （2）相位差 相位差指的是两个同频率正弦量之间的相位之差，由于同频率正弦量之间的相位之差实 际上就等于它们的初相之差，因此相位差就是两个同频率正弦量的初相之差。注意：不同频率 的正弦量之间是没有相位差的概念而言的。 相位差的概念中牵扯到超前、滞后、同相、反相、正交等术语，要求能够正确理解，要 注意超前、滞后的概念中相位差不得超过±180°；同相即两个同频率的正弦量初相相同；反 相表示两个同频率正弦量相位相差 180°，注意 180°在解析式中相当于等号后面的负号；正 交表示两个同频率正弦量之间的相位差是 90°。 2、学习检验结果解析 （1）何谓正弦量的三要素？三要素各反映了正弦量的哪些方面？ 解析：最大值（或有效值）反映了正弦量的作功能力；角频率（或周期、频率）反映了 正弦量随时间变化的快慢程度；初相确定了正弦量计时始的位置，它们是正弦量的三要素。 （2）一个正弦电流的最大值为 100mA，频率为 2000Hz，这个电流达到零值后经过多长 时间可达 50mA？ 解析：由题目给出的条件可知，此正弦电流的周期等于 500 s 2000 1 T = = 由零值到达 50 mA 需经历的时间为 6 30 50 100 arcsin = = = 一个周期 T 是 2π，所以 t s T 500 41.7 12 1 6 12 = = ，因此 （3）两个正弦交流电压 u1＝U1msin(ωt＋60°)V，u2＝U2msin(2ωt＋45°)V。比较哪个超前哪 个滞后？ 解析：这两个正弦量由于不属于同频率的正弦量，因此它们之间无法比较相位差。 （4）有一电容器，耐压值为 220V，问能否用在有效值为 180V 的正弦交流电源上？ 解析：这个电容器若接在有效值为 180V 的电源上，则该电源的最大值为 180×1.414≈ 255V，这个值大于电容器的耐压值 220V，因此不能把它用在有效值为 180V 的正弦交流电源 上。 （5）一个工频电压的初相为 30Ο，在 2 T t = 时的值为(-268)V，试求它的有效值
解析:可写出该正弦量的解析式为:u=UmSn(314+30°)V 把!=和瞬时值268代入上式可得:-268=Unsm(314×001+30°)后解得此电压的 有效值为:U≈379V 3.2单一参数的正弦交流电路 1、学习指导 (1)电阻元件 从电压、电流瞬时值关系来看,电阻元件上有i=,具有欧姆定律的即时对应关系,因 此,电阻元件称为即时电路元件;从能量关系上看,电阻元件上的电压、电流在相位上具有同 相关系,同相关系的电压、电流在元件上产生有功功率(平均功率)P。由于电阻元件的瞬时 功率在一个周期内的平均值总是大于或等于零,说明电阻元件只向电路吸取能量,从能量的观 点可得出电阻元件是耗能元件。 (2)电感元件和电容元件 电感元件上电压、电流的瞬时值关系式为:1=L可;电容元件上的电压、电流瞬时值 关系式为=C4,显然均为微分(或积分)形式的动态关系。因此,从电压、电流瞬时 值关系式来看,电感元件和电容元件属于动态元件。 无论是电感元件还是电容元件,它们的瞬时功率在一个周期内的平均值为零,说明这两 种理想电路元件是不耗能的,但它们始终与电源之间进行着能量交换,我们把这种只交换不消 耗的能量称为无功功率。由于电感元件和电容元件只向电源吸取无功功率,即它们只进行能量 的吞吐而不耗能,我们把它们称作储能元件 注意:储能元件上的电压、电流关系为正交关系,换句话说,正交的电压和电流构成无 功功率。另外,电感元件的磁场能量和电容元件的电场能量之间在同一电路中可以相互补偿, 所谓补偿,就量当电容充电时,电感恰好释放磁场能,电容放电时,电感恰好吸收磁场能,因 此两个元件之间的能量可以直接交换而不从电源吸取,即电感和电容元件具有对偶关系 (3)学习R、L、C三大电路元件的基本特性时,还要特别注意理解它们对正弦交流电流 呈现的阻力的不同之处,其中电阻与频率无关,电阻元件在阻碍电流的同时伴随着消耗,感抗 与频率与正比,容抗和频率成反比,这两个电抗在阻碍电流的过程中没有消耗,这些问题应深 刻理解。 2、学习检验结果解析
40 解析：可写出该正弦量的解析式为： u =Um sin( 314t +30)V 把 2 T t = 和瞬时值-268 代入上式可得： 268 sin( 314 0.01 30 ) m − =U + 后解得此电压的 有效值为：U≈379V 3．2 单一参数的正弦交流电路 1、学习指导 （1）电阻元件 从电压、电流瞬时值关系来看，电阻元件上有 R u i = ，具有欧姆定律的即时对应关系，因 此，电阻元件称为即时电路元件；从能量关系上看，电阻元件上的电压、电流在相位上具有同 相关系，同相关系的电压、电流在元件上产生有功功率（平均功率）P。由于电阻元件的瞬时 功率在一个周期内的平均值总是大于或等于零，说明电阻元件只向电路吸取能量，从能量的观 点可得出电阻元件是耗能元件。 （2）电感元件和电容元件 电感元件上电压、电流的瞬时值关系式为： dt di uL = L ；电容元件上的电压、电流瞬时值 关系式为 dt du i C C C = ，显然均为微分（或积分）形式的动态关系。因此，从电压、电流瞬时 值关系式来看，电感元件和电容元件属于动态元件。 无论是电感元件还是电容元件，它们的瞬时功率在一个周期内的平均值为零，说明这两 种理想电路元件是不耗能的，但它们始终与电源之间进行着能量交换，我们把这种只交换不消 耗的能量称为无功功率。由于电感元件和电容元件只向电源吸取无功功率，即它们只进行能量 的吞吐而不耗能，我们把它们称作储能元件。 注意：储能元件上的电压、电流关系为正交关系，换句话说，正交的电压和电流构成无 功功率。另外，电感元件的磁场能量和电容元件的电场能量之间在同一电路中可以相互补偿， 所谓补偿，就量当电容充电时，电感恰好释放磁场能，电容放电时，电感恰好吸收磁场能，因 此两个元件之间的能量可以直接交换而不从电源吸取，即电感和电容元件具有对偶关系。 （3）学习 R、L、C 三大电路元件的基本特性时，还要特别注意理解它们对正弦交流电流 呈现的阻力的不同之处，其中电阻与频率无关，电阻元件在阻碍电流的同时伴随着消耗，感抗 与频率与正比，容抗和频率成反比，这两个电抗在阻碍电流的过程中没有消耗，这些问题应深 刻理解。 2、学习检验结果解析
(1)电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少?判断下列表达式的正误 R R 解析:电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差为零。(2)、(4)式正确。 2.纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少?感抗与频率有何关系?判断下 列表达式的正误 ① L 解析:纯电感元件在交流电路中电压超前电流90°;感抗X1=2π几;只有(2)式正确。 3.纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少?容抗与频率有何关系?判断下 列表达式的正误。 ② ④I=UmoC 解析:纯电容元件在交流电路中电压滞后电流90°:容抗X。2mC无一式正确 第3章章后习题解析 31按照图示所选定的参考方向,电流i的表达式为i=20sm3141+)A,如果把参考 方向选成相反的方向,则的表达式应如何改写?讨论把正弦量的参考 方向改成相反方向时,对相位差有什么影响? 解:若把电流的参考方向选成相反的方向时,解析式中的初相可加图3.11题3.1图 (或减)180°,即原式可改写为1=20sm(314+2x-m)=20sm(3141-x)A。当正弦量的 参考方向改成相反方向时,原来的同相关系将变为反相关系;原来的反相关系变为同相关系; 原来超前的关系将变为滞后:原来滞后的关系变 为超前。 311 32已知uA=220√2sn314tV 314t lg=220√2sm(3141-120°)V 120° (1)试指出各正弦量的振幅值、有效值、 初相、角频率、频率、周期及两者之间的相位差 习题3.2电压波形图 各为多少?
41 （1）电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少？判断下列表达式的正误。 ① R U i = ② R U I = ③ R U i m = ④ R u i = 解析：电阻元件在交流电路中电压与电流的相位差为零。（2）、（4）式正确。 2．纯电感元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少？感抗与频率有何关系？判断下 列表达式的正误。 ① X L u i = ② L U I = ③ L u i = ④ L U I m = 解析：纯电感元件在交流电路中电压超前电流 90°；感抗 XL=2πfL；只有（2）式正确。 3．纯电容元件在交流电路中电压与电流的相位差为多少？容抗与频率有何关系？判断下 列表达式的正误。 ① X C u i = ② C U I = ③ C u i = ④ I =U mC 解析：纯电容元件在交流电路中电压滞后电流 90°；容抗 fC X 2 1 c = ；无一式正确。 第 3 章 章后习题解析 3.1 按照图示所选定的参考方向，电流 i 的表达式为 ) 3 2 i = 20sin(314t + A，如果把参考 方向选成相反的方向，则 i 的表达式应如何改写？讨论把正弦量的参考 方向改成相反方向时，对相位差有什么影响？ 解：若把电流的参考方向选成相反的方向时，解析式中的初相可加 （或减）180°，即原式可改写为 ) 3 ) 20sin(314 3 2 20sin(314 i = t + − = t − A。当正弦量的 参考方向改成相反方向时，原来的同相关系将变为反相关系；原来的反相关系变为同相关系； 原来超前的关系将变为滞后；原来滞后的关系变 为超前。 3.2 已 知 uA = 220 2 sin 314t V ， 220 2 sin(314 120 ) B u = t − V。 （1）试指出各正弦量的振幅值、有效值、 初相、角频率、频率、周期及两者之间的相位差 各为多少？ 图 3.11 题 3.1 图 i 习题 3.2 电压波形图 − 120 314t 311 u(V) uA uB 0
(2)画出A、mB的波形。 解:①A的振幅值是31lV,有效值是220V,初相是0,角频率等于314rad/s,频率是50Hz 周期等于0.02s:l的幅值也是311V,有效值是220V,初相是-120°,角频率等于314rads, 频率是50Hz,周期等于002s。uA超前ug120°电角。uA、l的波形如图所示。 3.3按照图示电压u和电流i的波形,问u和i的初相各为多少?相位差为多少?若将计 时起点向右移π/3,则a和i的初相有何改变?相位差有ai 何改变?u和i哪一个超前? 解:由波形图可知,n的初相是-60°,的初相是2 30°:u滞后I的电角度为90°。若将计时起点向右移I /3(即60°),则u的初相变为零,i的初相变为90°, 二者之间的相位差不变 34额定电压为220伏的灯泡通常接在220伏交流电 图3.12题3.3波形图 源上,若把它接在220伏的直流电源上行吗? 答:灯泡可以看作是纯电阻负载,纯电阻负载在工频交流电下和直流情况下的电阻值变化 很小,而额定电压值通常是指加在灯泡两端的长期、安全工作条件下的最高限值的有效值,有 效值又与数值相同的直流电热效应相等,因此,把灯泡接在220V直流电源上是可以的 3.5在电压为220伏、频率为50赫的交流电路中,接入一组白炽灯,其等效电阻是11欧 要求:(1)绘出电路图:(2)求出电灯组取用的电 流有效值;(3)求出电灯组取用的功率 解:(1)绘出电路图如右图所示 (2)电灯组取用的电流有效值为 =20A R11 习题3.5电路示意图 (3)电灯组取用的功率为 P=U=220×20=4400W 36己知通过线圈的电流i=10√2sn314A,线圈的电感L=70mH(电阻可以忽略不 计)。设电流i、外施电压u为关联参考方向,试计算在t=76,T4,m2瞬间电流、电压的数 解:线圈的感抗为X=314×0.07≈229 1=76时:i=10√2sn(314×02)=1442n60°≈12.24A Um=mL=14.14×22≈3llV u=3 lI sin I50°=155.5V
42 （2）画出 uA、uB的波形。 解：①uA 的振幅值是 311V，有效值是 220V，初相是 0，角频率等于 314rad/s，频率是 50Hz， 周期等于 0.02s；uB的幅值也是 311V，有效值是 220V，初相是－120°，角频率等于 314rad/s， 频率是 50Hz，周期等于 0.02s。uA 超前 uB120°电角。uA、uB的波形如图所示。 3.3 按照图示电压 u 和电流 i 的波形，问 u 和 i 的初相各为多少？相位差为多少？若将计 时起点向右移π/ 3，则 u 和 i 的初相有何改变？相位差有 何改变？u 和 i 哪一个超前？ 解：由波形图可知，u 的初相是－60°，i 的初相是 30°；u 滞后 I 的电角度为 90°。若将计时起点向右移π / 3（即 60°），则 u 的初相变为零，i 的初相变为 90°， 二者之间的相位差不变。 3.4 额定电压为 220 伏的灯泡通常接在 220 伏交流电 源上，若把它接在 220 伏的直流电源上行吗？ 答：灯泡可以看作是纯电阻负载，纯电阻负载在工频交流电下和直流情况下的电阻值变化 很小，而额定电压值通常是指加在灯泡两端的长期、安全工作条件下的最高限值的有效值，有 效值又与数值相同的直流电热效应相等，因此，把灯泡接在 220V 直流电源上是可以的。 3.5 在电压为 220 伏、频率为 50 赫的交流电路中，接入一组白炽灯，其等效电阻是 11 欧， 要求：（1）绘出电路图；（2）求出电灯组取用的电 流有效值；（3）求出电灯组取用的功率。 解：（1）绘出电路图如右图所示； （2）电灯组取用的电流有效值为 20 11 220 = = = R U I A （3）电灯组取用的功率为 P =UI = 220 20 = 4400 W 3.6 已知通过线圈的电流 i =10 2 sin 314t A，线圈的电感 L=70mH（电阻可以忽略不 计）。设电流 i、外施电压 u 为关联参考方向，试计算在 t=T/6，T/4，T/2 瞬间电流、电压的数 值。 解：线圈的感抗为 XL=314×0.07≈22Ω t=T/6 时： ) 14.14 sin 60 12.24 6 0.02 i =10 2 sin(314 = A Um=ImXL=14.14×22≈311V u = 311sin150 =155.5 V 图 3.12 题 3.3 波形图 60 30 0 ωt 10 6 u、i u i ~220V ··· 习题 3.5 电路示意图