第4章相量分析法 在线性电路的分析中,有很多问题是求电路的稳态解。相量分析法就是为了简化正弦稳 态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正 弦交流电路的分析与计算,同时,它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路(即 教材第9章所讨论的非正弦周期电流电路) 相量分析法的数学基础是复数运算,因此在研究相量分析法之前,应简要复习复数的概 念及其运算法则,并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系,为 应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。 本章的学习重点 正弦量的相量表示法; 相量分析法的解题思路 复功率及有功功率、无功功率、视在功率。 4.1复数及其运算 1、学习指导 (1)复数及其表示方法 复数A是复平面上的一个点,复数A在实轴上的投影a1是它的实部数值,复数在虚轴上 的投影a2是它的虚部数值,由实部和虚部构成复数的代数形式an+jan2:复数到坐标原点的线 段长度是复数的模值a,复数与正向实轴之间的夹角是复数的幅角ρ,由模和幅角可以表示为 复数的指数形式ae和极坐标形式a∠q;复数的代数形式和极坐标形式(或指数形式)之间 可以相互转换,复数代数形式的虚部和实部数值与极坐标形式的模值和幅角之间的关系为 a1=acOq和a2=asnq; 复数代数形式化为极坐标形式时的转换公式为 a=ya12+a2和=arcg (2)复数运算法则 复数加、减运算时应用代数形式进行;复数乘除运算时应用极坐标形式进行。复数运算 中要特别注意正确判断复数的幅角在第几象限 2、学习检验结果解析
49 第 4 章 相量分析法 在线性电路的分析中，有很多问题是求电路的稳态解。相量分析法就是为了简化正弦稳 态电路的分析计算而引入的一种电路求解方法。相量分析法不仅适用于本章只有一种频率的正 弦交流电路的分析与计算，同时，它也可推广应用于多个不同频率的正弦激励的线性电路（即 教材第 9 章所讨论的非正弦周期电流电路）。 相量分析法的数学基础是复数运算，因此在研究相量分析法之前，应简要复习复数的概 念及其运算法则，并且熟练掌握复数的代数形式、极坐标形式、指数形式之间的变换关系，为 应用相量法分析和计算正弦稳态电路打下坚实的基础。 本章的学习重点： ⚫ 正弦量的相量表示法； ⚫ 相量分析法的解题思路； ⚫ 复功率及有功功率、无功功率、视在功率。 4．1 复数及其运算 1、学习指导 （1）复数及其表示方法 复数 A 是复平面上的一个点，复数 A 在实轴上的投影 a1 是它的实部数值，复数在虚轴上 的投影 a2 是它的虚部数值，由实部和虚部构成复数的代数形式 a1+ja2；复数到坐标原点的线 段长度是复数的模值 a，复数与正向实轴之间的夹角是复数的幅角 ，由模和幅角可以表示为 复数的指数形式 j ae 和极坐标形式 a ；复数的代数形式和极坐标形式（或指数形式）之间 可以相互转换，复数代数形式的虚部和实部数值与极坐标形式的模值和幅角之间的关系为： a1 = acos 和 a2 = asin ； 复数代数形式化为极坐标形式时的转换公式为： 2 2 2 a = a1 + a 和 1 2 a a = arctg （2）复数运算法则 复数加、减运算时应用代数形式进行；复数乘除运算时应用极坐标形式进行。复数运算 中要特别注意正确判断复数的幅角在第几象限。 2、学习检验结果解析
(1)已知:复数A=4+5,B=6-2。试求A+B,A-B,AXB和A÷B 解析:复数的加、减法一般采用复数的代数形式比较方便,即 A+B=(4+6)+5+(-2)]=10+3 A-B=(4-6)+[5-(-2)]=-2+门7 复数的乘、除法一般采用复数的极坐标形式比较方便,即 A=4+5=64/513° B=5-2=539/787° AB=64/513°×5.39/=787°=64×.392513°+(-787°)≈345/-274° A:B=64/513°÷5.39-787°=64:5.39/513°-(-787°)≈1.19/130° (2)已知:复数A=17/24°和B=6/-65°,试求A+B,A-B,AXB和A÷B。 解析:A=17/24°≈15.5+1691B=6/-65°≈24544 A+B=(155+2.54)+j(691-544)=18.04+j147 A-B=(15.5-2.54)+691-(-544]=1296+12.35 AXB=1724°×6∠=65°=17×6/24°+(-65°)=102/-41° A÷B=1724°÷6/-65°=17:6224°-(-65°)≈2.83/89° 4.2相量和复阻抗 1、学习指导 (1)同频率正弦量的表示 由于在一个正弦稳态电路中,所有变量都是同频率的正弦量,且几个同频率正弦量加减 乘除的结果仍是一个同频率的正弦量。受这种启发,我们在对一个正弦稳态电路进行分析研究 时,完全可以不考虑各正弦量的频率,只由正弦量的振幅和初相就可以确定其中的任意一个正 弦量,由此引入了正弦量的相量表示法。 (2)正弦量的相量 用复数的模值对应地表示正弦量的振幅(或有效值):用复数的幅角对应地表示正弦量的 初相,任何一个正弦量都可以对应这样的一个复数,而我们就把这个与正弦量相对应的复数称 为正弦量的相量,简称相量。换句话说,正弦量的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具 有一一对应关系的复数。为区别与一般复数的不同,相量头顶要带上标记“”。值得注意的是, 个相量可以充分表达正弦量的三要素,只是由于电路中各量频率相同而省掉了频率而已(如 上面1.所述)。相量仅为正弦量的一种表示方法,相量并不等于正弦量 (3)复阻抗 复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的 电阻和电抗,例如单一电阻元件电路的复阻抗为R,是一个只有实部没有虚部的复数:单一电 感元件电路的复阻抗是,是没有实部,只有正值虚部的复数;单一电容元件电路的复阻抗
50 （1）已知：复数 A＝4+j5，B=6-j2。试求 A+B，A－B，AⅹB 和 A÷B。 解析：复数的加、减法一般采用复数的代数形式比较方便，即 A＋B＝（4＋6）＋j[5＋（－2）]＝10＋j3 A－B＝（4－6）＋j[5－（－2）]＝－2＋j7 复数的乘、除法一般采用复数的极坐标形式比较方便，即 A＝4+j5＝6.4/51.3° B＝5－j2＝5.39/78.7° A×B＝6.4/51.3°×5.39/－78.7°＝6.4×5.39/51.3°＋(－78.7°)≈34.5/－27.4° A÷B＝6.4/51.3°÷5.39/－78.7°＝6.4÷5.39/51.3°－(－78.7°)≈1.19/130° （2）已知：复数 A=17/24°和 B=6/－65°，试求 A＋B，A－B，A×B 和 A÷B。 解析： A＝17/24°≈15.5＋j6.91 B＝6/－65°≈2.54－j5.44 A＋B＝（15.5＋2.54）＋j（6.91－5.44）＝18.04＋j1.47 A－B＝（15.5－2.54）＋j[6.91－（－5.44）]＝12.96＋j12.35 A×B＝17/24°×6/－65°＝17×6/24°＋(－65°) ＝102/－41° A÷B＝17/24°÷6/－65°＝17÷6/24°－(－65°)≈2.83/89° 4．2 相量和复阻抗 1、学习指导 （1）同频率正弦量的表示 由于在一个正弦稳态电路中，所有变量都是同频率的正弦量，且几个同频率正弦量加减 乘除的结果仍是一个同频率的正弦量。受这种启发，我们在对一个正弦稳态电路进行分析研究 时，完全可以不考虑各正弦量的频率，只由正弦量的振幅和初相就可以确定其中的任意一个正 弦量，由此引入了正弦量的相量表示法。 （2）正弦量的相量 用复数的模值对应地表示正弦量的振幅（或有效值）；用复数的幅角对应地表示正弦量的 初相，任何一个正弦量都可以对应这样的一个复数，而我们就把这个与正弦量相对应的复数称 为正弦量的相量，简称相量。换句话说，正弦量的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具 有一一对应关系的复数。为区别与一般复数的不同，相量头顶要带上标记“·”。值得注意的是， 一个相量可以充分表达正弦量的三要素，只是由于电路中各量频率相同而省掉了频率而已（如 上面 1.所述）。相量仅为正弦量的一种表示方法，相量并不等于正弦量。 （3）复阻抗 复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的 电阻和电抗，例如单一电阻元件电路的复阻抗为 R，是一个只有实部没有虚部的复数；单一电 感元件电路的复阻抗是 jXL，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容元件电路的复阻抗
是一jXc,是没有实部,只有负值虚部的复数。依此类推可得:RL串联电路的复阻抗为:R+KL; RLC串联电路的复阻抗为:Rj(Ⅺ一Xc)。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗;复阻抗 的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。 2、学习检验结果解析 (1)指出下列各式的错误并改正: 2sn(a+2)=2202e (2)1=10/-369°=102sn(ar-369)A (3)U=380/60V 解析:(1)式中解析式是不等于相量式的,电压的单位是V而不是A,应改为 n=222si(a× Um=2202c/4 (2)式中解析式不等于相量式,应改为 =10/-369°A1=10√2sn(om-369)A (3)式中电压的有效值符号应改为相量符号,即 U=380/60°V 2.把下列正弦量表示为有效值相量 (1)i=10sin(ot-45°)A (2)u=-220√2si(on+90V (3)u=220√2cos(ox-30°) 解析:(1)I=707/-45°A(2)U=220/-90V(3)U=220/60V 4.3相量分析法 1、学习指导 (1)相量分析法需要把握的要点 当把一个正弦交流电路的所有变量都用相量来表示,电路中各元件的阻抗均化为复数表 示的阻抗形式(简称为复阻抗),则任何一个正弦交流稳态电路的响应都可以采用前面所介绍 的、直流电路中应用的定理、定律和分析法进行求解,这就是相量分析法。利用相量法分析来 计算正弦交流电路,能将复杂的三角运算变换成较为简单的复数的代数运算。学习相量分析法
51 是－jXC，是没有实部，只有负值虚部的复数。依此类推可得：RL 串联电路的复阻抗为：R+jXL； RLC 串联电路的复阻抗为：R+j（XL－XC）。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗；复阻抗 的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。 2、学习检验结果解析 （1）指出下列各式的错误并改正： （1） ) 220 2 A 4 220 2 sin( 45 = + = j u t e （2） =10/−36.9 =10 2 sin( −36.9)A • I t （3） U = 380/ 60V 解析：（1）式中解析式是不等于相量式的，电压的单位是 V 而不是 A，应改为 ) 220 2 V 4 220 2 sin( 45 m • = + = j u t U e （2）式中解析式不等于相量式，应改为 =10/− 36.9A =10 2 sin( − 36.9) A • I i t （3）式中电压的有效值符号应改为相量符号，即 = 380/ 60V • U 2．把下列正弦量表示为有效值相量： （1） i =10 sin(t − 45) A （2） u = −220 2 sin(t +90) V （3） u = 220 2 cos(t −30) V 解析： 1 = 7.07/− 45A 2 = 220/− 90V 3 = 220/ 60V • • • （）I （ ）U （）U 4．3 相量分析法 1、学习指导 （1）相量分析法需要把握的要点 当把一个正弦交流电路的所有变量都用相量来表示，电路中各元件的阻抗均化为复数表 示的阻抗形式（简称为复阻抗），则任何一个正弦交流稳态电路的响应都可以采用前面所介绍 的、直流电路中应用的定理、定律和分析法进行求解，这就是相量分析法。利用相量法分析来 计算正弦交流电路，能将复杂的三角运算变换成较为简单的复数的代数运算。学习相量分析法
作好相量图是分析解决问题的关键环节,也是一种基本的技能训练。在正弦稳态电路的分析中, 利用相量图的帮助来分析和解决实际问题的例子很多,相量图不仅能形象地表征出电路中各量 间的数量和相位关系,有时通过对相量图能把隐含的问题浅显化,藉助相量图往往可以方便地 定性分析电路中的某些特性,使复杂问题从相量图的分析中显示的一目了然,甚至能够起着四 两拨千斤的效果 (2)RLC串联电路的相量模型分析 相量分析法中,借助相量图分析电路很关键。相量图的画法,可根据具体问题的不同, 选择合适的一个电路变量作为参考相量,串联电路的参考相量一般选用电流相量,再根据各元 件上电压与电流的相位关系定性地画出各电压,各电压比例尺应相同,由这样的相量图可把各 元件电压之间的相位关系和数量关系、各电压与电流之间的相位关系一目了然。注意相量图分 析中只有电压三角形是相量图,阻抗三角形不是相量图,它只反映了各元件参数的数量关系 (3)RLC并联电路的相量模型分析 正弦并联电路采用相量分析法解题时,一般选取电压为电路的参考相量。然后根据R、L、 C单个元件上的电压、电流关系,确定电路中其余变量的相量与参考相量之间的对应关系;最 后运用矢量图遵循的平行四边形法则或多角形法则,定性地画出电路的相量图,根据相量图分 析各参数之间的关系,依据电路方程求出电路响应 2、学习检验结果解析 (1)一个110V、60W的白炽灯接到50Hz、220V正弦电源上,可以用一个电阻、或一个 电感、或一个电容和它串联。试分别求所需的R、L、C的值。如果换接到220V直流电源上, 这三种情况的后果分别如何? 解析:这盏白炽灯的灯丝电阻为 21102 ≈202g 把它接在50Hz、220V正弦电源上和一个电阻相串联时,所串联电阻的阻值应与灯丝电阻 相同,即R=202Ω;换接在直流上时情况不变。 白炽灯在50Hz、220V正弦电源上和一个电感相串联时,其电感的数值为 ≈0.545A N110 UL=V2202-1102≈191V ≈1.113H 0.545×314 白炽灯在50Hz、220V正弦电源上和一个电容相串联时,其电容的电容量为
52 作好相量图是分析解决问题的关键环节，也是一种基本的技能训练。在正弦稳态电路的分析中， 利用相量图的帮助来分析和解决实际问题的例子很多，相量图不仅能形象地表征出电路中各量 间的数量和相位关系，有时通过对相量图能把隐含的问题浅显化，藉助相量图往往可以方便地 定性分析电路中的某些特性，使复杂问题从相量图的分析中显示的一目了然，甚至能够起着四 两拨千斤的效果。 （2）RLC 串联电路的相量模型分析 相量分析法中，借助相量图分析电路很关键。相量图的画法，可根据具体问题的不同， 选择合适的一个电路变量作为参考相量，串联电路的参考相量一般选用电流相量，再根据各元 件上电压与电流的相位关系定性地画出各电压，各电压比例尺应相同，由这样的相量图可把各 元件电压之间的相位关系和数量关系、各电压与电流之间的相位关系一目了然。注意相量图分 析中只有电压三角形是相量图，阻抗三角形不是相量图，它只反映了各元件参数的数量关系。 （3）RLC 并联电路的相量模型分析 正弦并联电路采用相量分析法解题时，一般选取电压为电路的参考相量。然后根据 R、L、 C 单个元件上的电压、电流关系，确定电路中其余变量的相量与参考相量之间的对应关系；最 后运用矢量图遵循的平行四边形法则或多角形法则，定性地画出电路的相量图，根据相量图分 析各参数之间的关系，依据电路方程求出电路响应。 2、学习检验结果解析 （1）一个 110V、60W 的白炽灯接到 50Hz、220V 正弦电源上，可以用一个电阻、或一个 电感、或一个电容和它串联。试分别求所需的 R、L、C 的值。如果换接到 220V 直流电源上， 这三种情况的后果分别如何？ 解析：这盏白炽灯的灯丝电阻为 = = 202 60 110 ' 2 2 P U R 把它接在 50Hz、220V 正弦电源上和一个电阻相串联时，所串联电阻的阻值应与灯丝电阻 相同，即 R=202Ω；换接在直流上时情况不变。 白炽灯在 50Hz、220V 正弦电源上和一个电感相串联时，其电感的数值为 220 110 191V 0.545A 110 60 2 2 L N N = − = = U U P I 1.113H 0.545 314 L 191 = = I U L 白炽灯在 50Hz、220V 正弦电源上和一个电容相串联时，其电容的电容量为
2202-1102≈191V 0.545 C 9.091F Uo191×314 2.判断下列结论的正确性 (1)RLC串联电路:z=R+1(0L-),(0)=1z1/gxv2sm(om+v) (2)RLC并联电路:Y=G+(Bc-B1,Y=+j( R 解析:(1)中的电压解析式是错误的。只能根据阻抗和电流有效值的乘积来决定电压有效 值,根据电流初相和阻抗角决定电压的初相,而不能直接将复阻抗与电流解析式相乘 (2)式的两个表达式都是错误的,第1个式子少写了复导纳虚部符号j;2式虚部中的两 项位置应倒过来。 4.4复功率 1、学习指导 (1)复功率 本章在对正弦交流电路的功率进行讨论时,引入了复功率的概念,复功率的实部在数值 上等于电路中的有功功率P,复功率的虚部在数值等于电路的无功功率Q,复功率的模值等于 正弦交流电路中的视在功率S。要注意的是,电路中各个元件上的有功功率可以相加,无功功 率可以相加减,但电路各部分的视在功率一般不能直接相加减,其中原因由读者自己考虑 (2)功率因数的提高 由对功率的讨论我们引入了提高功率因数的问题。提高功率因数是指提高线路总电压与 总电流之间的相位差的余弦值。应明确,用并联电容法提高功率因数,对感性负载本身的功率 因数是没有影响的,提高的是我们所研究的整个二端网络的功率因数。 2、学习检验结果解析 (1)RL串联电路接到220V的直流电源时功率为12KW,接到220V的工频电源时功率 为0.6kW,试求它的R、L。 解析:直流下L相当于短路,因此根据接到直流电源上的数值可求得电阻 40.3g P1200 根据在工频交流电时的数据可求得电感
53 9.09 F 191 314 0.545 220 110 191V 2 2 C = = = − U I C U 2．判断下列结论的正确性： （1）RLC 串联电路： ) ( ) / 2 sin( ) 1 ( i u t Z I t C Z R j L = + − ， = + （2）RLC 并联电路： ) 1 1 ( 1 ( ) L L C C X X j R Y = G + B − B ，Y = + − 解析：（1）中的电压解析式是错误的。只能根据阻抗和电流有效值的乘积来决定电压有效 值，根据电流初相和阻抗角决定电压的初相，而不能直接将复阻抗与电流解析式相乘。 （2）式的两个表达式都是错误的，第 1 个式子少写了复导纳虚部符号 j；2 式虚部中的两 项位置应倒过来。 4．4 复功率 1、学习指导 （1）复功率 本章在对正弦交流电路的功率进行讨论时，引入了复功率的概念，复功率的实部在数值 上等于电路中的有功功率 P，复功率的虚部在数值等于电路的无功功率 Q，复功率的模值等于 正弦交流电路中的视在功率 S。要注意的是，电路中各个元件上的有功功率可以相加，无功功 率可以相加减，但电路各部分的视在功率一般不能直接相加减，其中原因由读者自己考虑。 （2）功率因数的提高 由对功率的讨论我们引入了提高功率因数的问题。提高功率因数是指提高线路总电压与 总电流之间的相位差的余弦值。应明确，用并联电容法提高功率因数，对感性负载本身的功率 因数是没有影响的，提高的是我们所研究的整个二端网络的功率因数。 2、学习检验结果解析 （1）RL 串联电路接到 220V 的直流电源时功率为 1.2KW，接到 220V 的工频电源时功率 为 0.6kW，试求它的 R、L。 解析：直流下 L 相当于短路，因此根据接到直流电源上的数值可求得电阻 = = 40.3 1200 220 2 2 P U R 根据在工频交流电时的数据可求得电感