第5章谐振电路 谐振是正弦交流电路中可能发生的一种特殊现象。研究电路的谐振,对于强电类专业来 讲,主要是为了避免过电压与过电流现象的出现,因此不需研究过细。但对弱电类(电子、自 动化控制类)专业而言,谐振现象广泛应用于实际工程技术中,例如收音机中的中频放大器 电视机或收音机输入回路的调谐电路,各类仪器仪表中的滤波电路、LC振荡回路,利用谐振 特性制成的Q表等。因此,需要对谐振电路有一套相应的分析方法 本章学习的重点: 串联谐振与并联谐振的概念及其发生的条件 谐振电路的基本特征和谐振电路的通频带 交流电路中最大功率的传输条件。 5.1串联谐振 1、学习指导 (1)谐振条件 串联谐振的条件是:a,r_1 由谐振条件导出了谐振时的电路频率f 2丌√LC (2)串联谐振特征 ①电路发生串联谐振时,电路中阻抗最小,且等于谐振电路中线圈的铜耗电阻R; ②若串谐电路中的电压一定,由于阻抗最小,因此电流达到最大,且与电压同相位 ③串谐发生时,在L和C两端出现过电压现象,即Uo=U(o=QUk 2、学习检验结果解析 (1)RLC串联电路发生谐振的条件是什么?如何使RLC串联电路发生谐振? 解析:HC串联电路发生谐振的条件是:∞0L=一,即串联电路的电抗为零。使RLC 'oC 串联电路发生谐振的方法有:①调整信号源的频率,使之等于电路的固有频率;②信号源的频 率不变时,可以改变电路中的L值或C值的大小,使电路的固有频率等于信号源的频率。 (2)串联谐振电路谐振时的基本特性有哪些 解析:串联谐振电路谐振时的基本特性有:①对信号源呈现的阻抗最小,且为电阻特性
68 第 5 章 谐振电路 谐振是正弦交流电路中可能发生的一种特殊现象。研究电路的谐振，对于强电类专业来 讲，主要是为了避免过电压与过电流现象的出现，因此不需研究过细。但对弱电类（电子、自 动化控制类）专业而言，谐振现象广泛应用于实际工程技术中，例如收音机中的中频放大器， 电视机或收音机输入回路的调谐电路，各类仪器仪表中的滤波电路、LC 振荡回路，利用谐振 特性制成的 Q 表等。因此，需要对谐振电路有一套相应的分析方法。 本章学习的重点： ⚫ 串联谐振与并联谐振的概念及其发生的条件； ⚫ 谐振电路的基本特征和谐振电路的通频带； ⚫ 交流电路中最大功率的传输条件。 5．1 串联谐振 1、学习指导 （1）谐振条件 串联谐振的条件是： C L 0 0 1 = ，由谐振条件导出了谐振时的电路频率 LC f 2 1 0 = （2）串联谐振特征 ①电路发生串联谐振时，电路中阻抗最小，且等于谐振电路中线圈的铜耗电阻 R； ②若串谐电路中的电压一定，由于阻抗最小，因此电流达到最大，且与电压同相位； ③串谐发生时，在 L 和 C 两端出现过电压现象，即 UL0= UC0= QUS 2、学习检验结果解析 （1）RLC 串联电路发生谐振的条件是什么？如何使 RLC 串联电路发生谐振？ 解析：RLC 串联电路发生谐振的条件是： C L 0 0 1 = ，即串联电路的电抗为零。使 RLC 串联电路发生谐振的方法有：①调整信号源的频率，使之等于电路的固有频率；②信号源的频 率不变时，可以改变电路中的 L 值或 C 值的大小，使电路的固有频率等于信号源的频率。 （2）串联谐振电路谐振时的基本特性有哪些？ 解析：串联谐振电路谐振时的基本特性有：①对信号源呈现的阻抗最小，且为电阻特性；
②串联回路中的电流最大,且与外加电压同相;③串谐时电感和电容两元件的电抗值相等,且 等于电路的特性阻抗:④电感和电容元件两端的电压大小相等、相位相反,且数值等于输入电 压的Q倍(其中Q是串联谐振回路的品质因数)。 (3)串联谐振电路的品质因数Q与电路的频率特性曲线有什么关系?是否影响通频带? 1|L 解析:串联谐振电路的品质因数QRc是分析谐振电路时常用到的一个重要的性能指 标。根据教材中公式(5.14) 可知,电流相对值一随频率相对值变 化的关系仅仅取决于电路的品质因数Q 由教材中图53也可看出,Q值对谐振曲线尖锐程度的影响 很大:当频率偏离谐振频率不多时,电流值也偏离谐振电流,Q 值越高,谐振曲线的顶部越尖锐,即电流衰减得越厉害,说明Q1- Q小 值大的电路对不是谐振频率的其它频率的信号抑制能力很强,即 信号的选频性能好;而ρ值越小,谐振曲线的顶部越圆钝,即电 Q大 流偏离谐振电流时衰减不多,说明电路对不是诺振频率的其它频几 率的信号抑制能力较差,电路的选频性能差。 而通频带则是指以电流衰减到谐振电流l0的0707倍为界限图53F~谐振曲线 时的一段频率范围。显然ρ值越高,谐振曲线越尖锐,电路的选择性越好,但电路的通频带 会因此变窄,从而容易造成传输信号的失真;而ρ值越低,谐振曲线越平滑,电路的选择性 能将因此而变差,但通频带越宽,传输的信号越不容易失真。 (4)已知RLC串联电路的品质因数Q=200,当电路发生谐振时,L和C上的电压值均 大于回路的电源电压,这是否与基尔霍夫定律有矛盾? 解析:由于品质因数高的缘故而使储能元件两端在串谐发生时出现过电压现象是谐振电 路的特征之一,与基尔霍夫定律并无矛盾。因为根据基尔霍夫定律,L和C两端的电压虽然很 大,但它们大小相等、相位相反,达到完全补偿而不需要电源电压再对它们提供能量,电源电 压全部供给电路中的电阻R,4个电压绕串联谐振回路一周,其代数和仍然为零,显然符合基 尔霍夫定律。 5.2并联诸振 1、学习指导 (1)并联谐振的条件 在小损耗条件下,并谐电路的谐振频率与串谐电路的谐振频率计算公式相同
69 ②串联回路中的电流最大，且与外加电压同相；③串谐时电感和电容两元件的电抗值相等，且 等于电路的特性阻抗；④电感和电容元件两端的电压大小相等、相位相反，且数值等于输入电 压的 Q 倍（其中 Q 是串联谐振回路的品质因数）。 （3）串联谐振电路的品质因数 Q 与电路的频率特性曲线有什么关系？是否影响通频带？ 解析：串联谐振电路的品质因数 C L R Q 1 = 是分析谐振电路时常用到的一个重要的性能指 标。根据教材中公式（5.14） 0 2 0 0 2 1 ( ) 1 f f f f Q I I + − = 可知，电流相对值 0 I I 随频率相对值变 化的关系仅仅取决于电路的品质因数 Q。 由教材中图 5.3 也可看出，Q 值对谐振曲线尖锐程度的影响 很大：当频率偏离谐振频率不多时，电流值也偏离谐振电流，Q 值越高，谐振曲线的顶部越尖锐，即电流衰减得越厉害，说明 Q 值大的电路对不是谐振频率的其它频率的信号抑制能力很强，即 信号的选频性能好；而 Q 值越小，谐振曲线的顶部越圆钝，即电 流偏离谐振电流时衰减不多，说明电路对不是谐振频率的其它频 率的信号抑制能力较差，电路的选频性能差。 而通频带则是指以电流衰减到谐振电流 I0 的 0.707 倍为界限 时的一段频率范围。显然 Q 值越高，谐振曲线越尖锐，电路的选择性越好，但电路的通频带 会因此变窄，从而容易造成传输信号的失真；而 Q 值越低，谐振曲线越平滑，电路的选择性 能将因此而变差，但通频带越宽，传输的信号越不容易失真。 （4）已知 RLC 串联电路的品质因数 Q＝200，当电路发生谐振时，L 和 C 上的电压值均 大于回路的电源电压，这是否与基尔霍夫定律有矛盾？。 解析： 由于品质因数高的缘故而使储能元件两端在串谐发生时出现过电压现象是谐振电 路的特征之一，与基尔霍夫定律并无矛盾。因为根据基尔霍夫定律，L 和 C 两端的电压虽然很 大，但它们大小相等、相位相反，达到完全补偿而不需要电源电压再对它们提供能量，电源电 压全部供给电路中的电阻 R，4 个电压绕串联谐振回路一周，其代数和仍然为零，显然符合基 尔霍夫定律。 5．2 并联谐振 1、学习指导 （1）并联谐振的条件 在小损耗条件下，并谐电路的谐振频率与串谐电路的谐振频率计算公式相同。 0 I I 0 1 1 0 图5.3 I~ω谐振曲线 ωωωω ωωωωω Q 大 Q 小
(2)并谐电路的基本特征 ①电路呈高阻抗特性 ②由于电路呈高阻抗,因此路端电压一定时,电路总电流最小 ③在L和C两支路中出现过电流现象,即o=lo=Ql (3)能量交换平衡 当电路发生谐振时,说明具有L和C的电路中出现了电压、电流同相的特殊现象,电源 和谐振电路之间没有电磁能量的交换,电路中的无功功率Q=0。但储能元件L和C之间的能 量交换始终在进行,而且任一时刻,两元件上的电能与磁能之和恒等于电能(或磁能)的最大 值,这种情况我们称元件之间的能量交换得到平衡 (4)品质因数 讨论谐振电路的问题,单纯从L和C上的电压(或电流)有效值大小不足以说明谐振电 性能好坏,因为,当电路参数确定之后,谐振时的电感电压(或电感支路的电流)、电容 电压(或电容支路的电流)有效值与外加信号源电压(或电路总电流)的大小有关,外加信号 源的电压(或供给电路的总电流)有效值越大,谐振时储能元件两端的电压(或支路电流)有 效值相应增大,用谐振时储能元件两端电压(或支路电流)有效值与信号源电压(或总电流) 有效值之比,可以表征一个谐振电路的性能,我们把这一比值称为谐振电路的品质因数,用Q 表示。即 ULO OoL p 串联回路中的品质因数Q值等于谐振时感抗与回路总电阻R的比值,注意和线圈上 的品质因数Ω值的区别,线圈的品质因数a值是线圈的感抗L与线圈的铜耗电阻R之比 值,其感抗ωL中的角频率a理论上可以是任意频率下的值。谐振电路的品质因数Q,可以用 来反映谐振电路选择性能的好坏,Q值越大,电路的选择性越好,反之则差。 (5)通频带 谐振电路的性能不仅可以由品质因数ρ值来反映,还可以用通频带来反映。当实际信号 作用在谐振电路时,要保持信号不产生幅度失真,需要求谐振电路对信号频带内的各频率分量 的响应是一样的。电子技术中通常把电路电流≥0.7070的一段频率范围称为谐振电路的通频 带。电路通频带与回路参数间的关系为 显然品质因数高的电路通频带窄,工程实际中如何兼顾二者之间的关系,应具体情况具 体分析 (6)电压谐振和电流谐振
70 （2）并谐电路的基本特征 ①电路呈高阻抗特性； ②由于电路呈高阻抗，因此路端电压一定时，电路总电流最小； ③在 L 和 C 两支路中出现过电流现象，即 IL0= IC0= QI。 （3）能量交换平衡 当电路发生谐振时，说明具有 L 和 C 的电路中出现了电压、电流同相的特殊现象，电源 和谐振电路之间没有电磁能量的交换，电路中的无功功率 Q=0。但储能元件 L 和 C 之间的能 量交换始终在进行，而且任一时刻，两元件上的电能与磁能之和恒等于电能（或磁能）的最大 值，这种情况我们称元件之间的能量交换得到平衡。 （4）品质因数 讨论谐振电路的问题，单纯从 L 和 C 上的电压（或电流）有效值大小不足以说明谐振电 路的性能好坏，因为，当电路参数确定之后，谐振时的电感电压（或电感支路的电流）、电容 电压（或电容支路的电流）有效值与外加信号源电压（或电路总电流）的大小有关，外加信号 源的电压（或供给电路的总电流）有效值越大，谐振时储能元件两端的电压（或支路电流）有 效值相应增大，用谐振时储能元件两端电压（或支路电流）有效值与信号源电压（或总电流） 有效值之比，可以表征一个谐振电路的性能，我们把这一比值称为谐振电路的品质因数，用 Q 表示。即 R R L U U Q = = = L0 0 串联回路中的品质因数 Q 值等于谐振时感抗ω0L 与回路总电阻 R 的比值，注意和线圈上 的品质因数 QL 值的区别，线圈的品质因数 QL 值是线圈的感抗ωL 与线圈的铜耗电阻 R 之比 值，其感抗ωL 中的角频率ω理论上可以是任意频率下的值。谐振电路的品质因数 Q，可以用 来反映谐振电路选择性能的好坏，Q 值越大，电路的选择性越好，反之则差。 （5）通频带 谐振电路的性能不仅可以由品质因数 Q 值来反映，还可以用通频带来反映。当实际信号 作用在谐振电路时，要保持信号不产生幅度失真，需要求谐振电路对信号频带内的各频率分量 的响应是一样的。电子技术中通常把电路电流 I≥0.707I0 的一段频率范围称为谐振电路的通频 带。电路通频带与回路参数间的关系为 Q f B 0 = 显然品质因数高的电路通频带窄，工程实际中如何兼顾二者之间的关系，应具体情况具 体分析。 （6）电压谐振和电流谐振
串联谐振电路适用于低内阻的信号源,因为信号源的内阻与谐振电路相串联,对回路的 有载ρ值影响很大;并联谐振电路适用于高内阻的信号源,其内阻与谐振电路相并联,内阻 越大对电路的品质因数ρ值影响越小。在小损耗条件下,并联谐振电路的条件基本上与串联 谐振电路相同,其中品质因数和通频带的概念也是相同的。所不同的是,串联谐振电路呈低电 阻性质,并联谐振电路呈高阻抗特性:串谐电路中在储能元件两端有过电压现象,因此称为电 压谐振,而并谐电路在储能元件支路中出现过电流现象,的以也称为电流谐振 2、学习检验结果解析 (1)如果信号源的频率大于、小于及等于并联谐振回路的谐振频率,问回路将呈现何种 性质? 解析:信号源的频率大于并联谐振回路的谐振频率时,电感支路的阻抗增加,使得支路电 流减小,电容支路的阻抗减少而使得电容支路的电流增大,因此回路呈现电容特性:信号源的 频率小于并联谐振回路的谐振频率时情况相反,电路呈电感特性;当信号源的频率等于并联谐 振回路的谐振频率时,电路发生并联谐振,电路呈现电阻特性。 (2)为什么称并联谐振为电流谐振?相同Q值的并联谐振电路,在长波段和短波段,通 频带是否相同? 解析:并联谐振时在支路中将出现过电流现象,即支路电流为电路总电流的Q倍,因此, 通常把并联谐振也称为电流谐振。相同ρ值的并联谐振电路,由于在长波段和短波段中的谐 振频率不同,因此,通频带B=血也各不相同 (3)RLC并联谐振电路的两端并联一个负载电阻RL时,是否会改变电路的O值? 解析:RLC并联谐振电路的两端并联一个负载电阻R时,将改变电路的Q值。因为并联 谐振电路的品质因数OR,由于并联了一个电阻R后而变为:QR∥R,显然Q值变 L 小,选择性变差,通频带相应变宽。 5.3正弦交流电路中的最大功率传输 1、学习指导 (1)正弦交流电路中负载上获得的最大功率条件与直流电路有所不同 R=RS (2)负载获取的最大功率为,。U,注意和直流电路的不同点。 4R
71 串联谐振电路适用于低内阻的信号源，因为信号源的内阻与谐振电路相串联，对回路的 有载 Q 值影响很大；并联谐振电路适用于高内阻的信号源，其内阻与谐振电路相并联，内阻 越大对电路的品质因数 Q 值影响越小。在小损耗条件下，并联谐振电路的条件基本上与串联 谐振电路相同，其中品质因数和通频带的概念也是相同的。所不同的是，串联谐振电路呈低电 阻性质，并联谐振电路呈高阻抗特性；串谐电路中在储能元件两端有过电压现象，因此称为电 压谐振，而并谐电路在储能元件支路中出现过电流现象，的以也称为电流谐振。 2、学习检验结果解析 （1）如果信号源的频率大于、小于及等于并联谐振回路的谐振频率，问回路将呈现何种 性质？ 解析：信号源的频率大于并联谐振回路的谐振频率时，电感支路的阻抗增加，使得支路电 流减小，电容支路的阻抗减少而使得电容支路的电流增大，因此回路呈现电容特性；信号源的 频率小于并联谐振回路的谐振频率时情况相反，电路呈电感特性；当信号源的频率等于并联谐 振回路的谐振频率时，电路发生并联谐振，电路呈现电阻特性。 （2）为什么称并联谐振为电流谐振？相同 Q 值的并联谐振电路，在长波段和短波段，通 频带是否相同？ 解析：并联谐振时在支路中将出现过电流现象，即支路电流为电路总电流的 Q 倍，因此， 通常把并联谐振也称为电流谐振。相同 Q 值的并联谐振电路，由于在长波段和短波段中的谐 振频率 f0 不同，因此，通频带 Q f B 0 = 也各不相同。 （3）RLC 并联谐振电路的两端并联一个负载电阻 RL 时，是否会改变电路的 Q 值？ 解析：RLC 并联谐振电路的两端并联一个负载电阻 RL 时，将改变电路的 Q 值。因为并联 谐振电路的品质因数 L R Q 0 = ，由于并联了一个电阻 RL 后而变为： L R R Q 0 L // = ，显然 Q 值变 小，选择性变差，通频带相应变宽。 5．3 正弦交流电路中的最大功率传输 1、学习指导 （1）正弦交流电路中负载上获得的最大功率条件与直流电路有所不同： L S L S R R X X = = − （2）负载获取的最大功率为： S 2 S L 4R U P = ，注意和直流电路的不同点
2、学习检验结果解析 (1)在电源内阻抗不同的条件下,负载获得最大功率的条件各是什么? 解析:在电源内阻抗不同的条件下,负载获得最大功率的条件相同,即 Z1=z即X1=-X和R1=-R (2)当电源内阻抗为感性阻抗而负载为纯电阻时,怎样才能使负载电阻获得最大的功率? 解析:当负载为纯电阻时,用上述同样的方法可使负载获得最大功率,即 RL= RS+Xs=zsI 第5章章后习题解析 51在RLC串联回路中,电源电压为5mV,试求回路谐振时的频率、谐振时元件L和C 上的电压以及回路的品质因数。 解:RLC串联回路的谐振频率为 f o 谐振回路的品质因数为 L R 谐振时元件L和C上的电压为 5|L 50m RC 52在RC串联电路中,已知L=100mH,R=3.49,电路在输入信号频率为400Hz时发 生谐振,求电容C的电容量和回路的品质因数 解:电容C的电容量为 (260)L631014158/F 回路的品质因数为 Q2L628×400×0=14 53一个串联谐振电路的特性阻抗为1009,品质因数为100,谐振时的角频率为1000ad/s, 试求R、L和C的值。 解:根据特性阻抗和品质因数的数值可得
72 2、学习检验结果解析 （1）在电源内阻抗不同的条件下，负载获得最大功率的条件各是什么？ 解析：在电源内阻抗不同的条件下，负载获得最大功率的条件相同，即： L S L S * L S Z = Z 即X = −X 和R = −R （2）当电源内阻抗为感性阻抗而负载为纯电阻时，怎样才能使负载电阻获得最大的功率？ 解析：当负载为纯电阻时，用上述同样的方法可使负载获得最大功率，即： S 2 S 2 RL = RS + X = Z 第 5 章 章后习题解析 5.1 在 RLC 串联回路中，电源电压为 5mV，试求回路谐振时的频率、谐振时元件 L 和 C 上的电压以及回路的品质因数。 解：RLC 串联回路的谐振频率为 LC f 2 1 0 = 谐振回路的品质因数为 R f L Q 2 0 = 谐振时元件 L 和 C 上的电压为 mV 5 L C 5 mV C L R U =U = Q = 5.2 在 RLC 串联电路中，已知 L＝100mH，R＝3.4Ω，电路在输入信号频率为 400Hz 时发 生谐振，求电容 C 的电容量和回路的品质因数。 解：电容 C 的电容量为 1.58 F 631014.4 1 (2 ) 1 2 0 = = f L C 回路的品质因数为 74 3.4 2 0 6.28 400 0.1 = = R f L Q 5.3 一个串联谐振电路的特性阻抗为100Ω，品质因数为100，谐振时的角频率为1000rad/s， 试求 R、L 和 C 的值。 解：根据特性阻抗和品质因数的数值可得