(二)例 例↑磁致伸缩换能器一两端自由得均匀细杆 自由:振动传递给外界 u -a u XX l,(x,1)==0(xD)==0 1=0=9(x)u(x)=0=v(x) A.分离变量:v(x,1)=Y(x)(1)x,-a2xT=0 X"(O)7()=0X()7(t)=0 T+ha T=0 X(0)=0和X(D)=0 X+X=0 X(x)=C1cos√x+C2si AC2=0 n丌 n=0,1,2,3 √A(-C1sn√a+C2cos)=0
（二）例 例1 磁致伸缩换能器－两端自由得均匀细杆。 自由：振动传递给外界 0 2 utt − a uxx = 0 l x ux (x,t) x=l = 0 ux (x,t) x=l = 0 ( ) 0 u x t= = ( ) ( ) 0 u x x t t= = A. u(x,t) = X (x)T(t) '' '' 0 2 XT −a X T = X '(0)T(t) = 0 X '(l)T(t) = 0 分离变量： '' 0; 2 T +a T = X ''+X = 0; X '(0) = 0 和 X '(l) = 0. X (x) C cos x C sin x B. = 1 + 2 0, C2 = (−C1 sin l +C2 cos l) = 0 2 2 2 l n = n = 0,1,2,3
X(x=C T=0 10(1)=A0+B (x, t)=A+B n=0 naat naat u,(r, t)=(Acarat naat nZ T, (t)=A, cos+ B,sin +B si )COS n=1,2,3 t u(x, t)=Ao+ B(+2(A, cos"+B, sin /cos nAr naat 由初始条件: 4=9()4+∑4m=94=054=82 W(x)B+∑" nZ 2 nTc (2×d,B ds n
l n x X x C ( ) cos = 1 C. '' 0; 2 2 2 2 + T = l n a T ( ) cos sin , l n at B l n at Tn t An n = + ( , ) ( cos sin ) cos . l n x l n at B l n at un x t An n = + n =1,2,3 T t A B t 0 0 0 ( ) = + u x t A B t n = 0 0 0 0 ( , ) = + ( , ) ( cos sin ) cos . 1 0 0 l n x l n at B l n at u x t A B t An n n = + + + = D. ( ) 0 u x t= = 由初始条件： sin ( ), 1 0 x l n x A An n + = = ( ) , 1 0 0 d l A l = ( ). 0 u x t t= = sin ( ). 1 0 x l n x B l n a B t n n + = = ( )cos . 2 0 d l n n a B l n = ( )cos ; 2 0 d l n l A l n = ( ) , 1 0 0 d l B l =
二类边界条件决定的驻波 自由 固定 自由 自由 固定 自由 固定 固定
2 4 6 8 -1 -0.5 0.5 1 x = 0 固定 x = l 自由 3 4 5 6 7 8 -1 -0.5 0.5 1 x = 0 自由 x = l 自由 4 6 8 -1 -0.5 0.5 1 x = 0 自由 x = l 固定 2.5 5 7.5 10 12.5 15 -1 -0.5 0.5 1 x = 0 固定 x = l 固定 一、二类边界条件决定的驻波