Uo(a+b)-boaa+b我们希望得到具有(x)=eikxu(x)Bloch形式的完全解。如此一来，在区间a<x<a+b内的解应当通过Bloch定理与区间-b<x<0内的解联系起来：y(x+a+b)=eik:(a+b)y(x)它可以用来确定作为指标标识这个解的波失k。所以在区间a<x<a+b 内y (x) =(CeB(x-a-b) + De-β(x-a-b)ei(a+b)
我们希望得到具有 Bloch形式的完全解。 如此一来，在区间a<x<a+b内的解应当通过Bloch定理 与区间-b<x<0内的解联系起来: ( ) ( ) ik x ψ x e ux ⋅ = ( ) ( ) ik a b ( ) ψ xab e x ψ ⋅ + ++ = 它可以用来确定作为指标标识这个解的波矢k。 所以 在区间 内 a xab < < + ( ) ( ) ( ) () ( ) β β ψ − − − −− + = + x a b x a b ik a b x Ce De e
dy对整个系统而言，两个区域的波函数y,dx在x=0,x=a处应是连续的，这就需要对A、B、C、D四个系数做选择。在×=O处有：A+B=C+Diα(A-B)= β(C-D)在x=a处有：: Aeia +Be-ia =(Ce-b+Depb)e(a+b)iα(Aeia - Be-iaa)= β(Ce-Bb - DeB")e*k(ab)
对整个系统而言，两个区域的波函数 在 x = 0, x = a 处应是连续的，这就需要对 A 、 B 、 C 、 D 四 个系数做选择。 d , dx ψ ψ 在 x = 0 处有： ( )( ) ABCD i AB CD α β + = + −= − 在 x = a 处有： ( ) ( ) ( )( ) ( ) ia ia b b ik a b ia ia b b ik a b Ae Be Ce De e i Ae Be Ce De e α α ββ α α ββ α β − − + − − + += + −= −
只有当A,B,C,D的系数行列式为零时，四个方程才有解：求解从略。β?-α2sinh(Bb)sin(αa)+cosh(Bb)cos(αa)=cos(ka+kb2αβ其中, cosh(x)=(e*+e-*)/2,sinh(x)=(e*-e-*)/2由此式可以计算出能量E对波k的色散关系cos(ka+kb)取值只能在-1和+1之间，因此上式左边将对能量取值有所限制，一些能量取值将被禁止，从而形成能带
只有当A,B,C,D的系数行列式为零时，四个方程才有解： 求解从略。 2 2 sinh( )sin( ) cosh( )cos( ) cos( ) 2 b a b a ka kb β α βα β α αβ − + =+ cosh( ) ( ) / 2,sinh( ) ( ) / 2 xx xx x ee x ee − − =+ =− 由此式可以计算出能量E对波矢k的色散关系 其中， cos(ka+kb)取值只能在-1和+1之间，因此上式左边将对 能量取值有所限制，一些能量取值将被禁止，从而形成 能带
EBand 4ABand31Band 2Free particleUo-Band1A02折-4m-2T3元4T-370-Ta+ba+6a+ha+b4+bhQ+a+ba+bZone2Zone1Zone 2
Blakemore书也介绍了这个模型20p213给出了p=2的结果。15()/310S(,ez/,=)osnl512元3元4元元4ka图6在克勒尼希一彭尼势场中的能量关于波数的关系曲线，其中P=3元/2。请注意在ka=元，2元，3元，*处出现的能隙。极限情形（b=0,U。=o）0-lam/aReducedWaveVectorkFigure 3-27 A reduced-zone representation of energy versus wave-vector for the见Kittel8版p121Kronig-Penney model when P=2 (as was chosen in Figure 3-26).The corespondingcurves forP --o (free electrons)are shownasdashed curves
见 Kittel 8版 p121 Blakemore 书也介绍了这个模型， p213 给出了p=2 的结果。 极限情形（b=0, U0=∞）