一一et一a出·一ag-2a十 和 y=+Bom (1.51) 表x一[，·，x]7,并注意到一b.,所以将(1.50)和(1.51)表示为向量方程的 形式就可得到此种情况下的状态空间描述为： 0 「a1 d。 G:-1 y-110.0lx+b,4 (1.52 例给定系统的输人一输出描述为： y+16y+194y+640y-4n+160+720 先利用(149)定出： 8。=b1=+ 82=b1一4281.a18ga408 月1=6-a8,-4d1一8。-4048 从而，由(1.52)即可导由相应的一个状态空间描述为： 101[-641 Lie-iw 0 1x+4084 -16 4048 y-L100】x+4w 14状态方程的对角线规范形和约当规范形 本节只限于讨论线性定常系统。线性定常系统的系统矩阵A的特征值是表征系统的 动力学特性的一个重要参昼。系统的状态方程将可通过适当的线性非奇异变换而化为由 特征值表征的规范形。并且，当特征值为两两相异时，规范形具有对角线规范形的形式： 而当特征值为非互异时，规范形将为约当规范形。在下一章中将可看到，这种以特征值表 征的规范形状态方程，对于分析系统的结构特性是很直观的。 对角线规范形给定系统的状态方程 (1.53) 系统的特征值定义为如下特征方程 det(a1-)-0 (1.54) 的根。一个阶数为n的系统，必有且仅有个特征值，它们可为实数或以共轭对出现的复 数。称一个非零列向量为矩阵4的属于特征值的特征向量，如果成立(一)， 0。特征向量不是唯一的。但是，当”个特征值，·，4。为两两相异时，任取的： ·20·
个特征向量马，口，.，口，必是线性无关的。利用这一事实，我们可导出如下的结论。 结论1对系统(1.53)，设其特征值2，·，无，为两两相异，并利用它们的特征 向量组成变换阵P一[，·，】，那么系统的状态方程在变换一Px下必可化为如 下的对角线规范形： +Bu,BAP-B (1.55) 证由柔=Px,可导出 走=Px✉P'Pe+PBa一Ag+Bu (1.56) 其中a-PP。再由P=[,.,0,】和w,一和，可得到 P=【w,.,4e]=[2o,.,0.l 小J (1.57 从而，将式(1.57)左乘P,即得 3-n- (1.58) 把(1.58)代入(1.56)就可导出(1.55)。证明完成。 例给定线性定常系统的状态方程为： 卧 其特征值为： 21-2,24-1,1-1 相立的一组特征向量为： -8 于是，可得到变换阵P和其逆P1为 -副 从而，可定出 w-s目
也即给定状态方程的对角线规范形为 卧 0 下面，对上述结论作几点讨论： (1)由(1.55)可以看出，在对角线规范形下，各个状态变量间实现了完全解耨，可表 成为个独立的状态变量方程。 (2)如果在(1.53)中，系统矩阵A具有形式 0 (1.59) 且其特征值21,4，·，1，两两不相等，则此时化状态方程为对角线规范形的变换阵可 按下述方式组成： . 1 .2 (1.60) . 这一推论的正确性可直接利用关系式：一2心，来证明，具体推证过程略去。 (3)当特征值1，.，2，中包含复致特征值时，上述变换阵P和对角线期范形 (1,5)中的系数矩阵A及B都将为复数阵。尽管这种处理和形式是没有实际物理含义 的，但它不会影响对系统结构特性的分析。 钓当规范形如果系统的特征值为非互异，则其状态方程一般不能变换为对角线规 范形，但可构造特定的变换阵使之化为准对角线频范形，即约当(Jorda)规范形。下面， 就约当期范形及其变换阵等有关概念，逐点进行讨论。 (1)约当规范形给定系统的状态方程(1.53)，设其特征值为2，(1重)，(重) .,1,(a重)，(c1十十.十)一n,则存在可逆变换阵，通过引人变换受= x,可使状态方程(1.53)化为如下的约当规范形： -QAQ+QB- (1.61) J 其中，B一Q8,为×阵且具有形式 ，il,2,.,l (1.62) J:称为相应于特征值的约当小块且具有形式 ·22
1. 1 r×r阵，专=1,2，.， (1.63) 这个结论表明，当系统矩阵4的特征值为各种重数的重值时，通常不可能通过变换而 实现状态变量间的完全解揭，约当规范形是可能达到的最简䞒合形式。在这种规范形中， 每 一个状态变最的方程只多和下一序号的状态变量构成褐合。 (2)特征值的代数重数和几何重数设2为矩阵A的一个特征值，且有 de(a1-A)-(a-2)8() (1.64) 则称为4的代数重数。再设 (1.65) 那么称为2：的几何重数。从约当规范形(1.61)一(1.63)可以看出，的几何重数 即为其约当小块的个数，而的代数重数：则是所有属于，的约当小块的阶数之和 (1.66) 进一步，由(1.65)可知，4即为(al一)的零空间的维数，而(l一 )的零空间定义 为使 (1,1-A)h0 (1.67) 成立的非零向肇h的集合，这也就是称叫为的几何重数的由来。显然，只有当所有特 征值的几何重数等于其代数重数，即 (1.68) 时，由(1.61)一(1.63)给出的规范形才具有对角线规范形的形式。 (3)广义特征向量称一个非琴向量！是矩阵4的属于2：的克级广义特征向量， 当且仅当 r(2l-4)知：=0 (1.69) (2,1一A)-1≠0 不难看出，当一1时，广义特征向量就等同于通常所定义的特征向量。广义特征向量有 三个基本的性质： 性质1设：是A的属于：的级广义特征向量，则如下定义的及个向量必是线性 无关的： 「1△0 (1.70) "△(a,l-A)t 并且称此向量组为长度是的广义特征向量链。 证只需证明使下式 9,0型+民用+·+9g-+90=0 (1.71) 成立的常数必全为零，即=一 为此，将(1.71)等式两边乘以
(2l-),并注意到 (,l-0-(al-4to,-6 (2l-A)-=(al-0(21-0p:-0 (1.72) (2l-0o9-(al-4)(2l-4)=0 就可由(1.71)导出 (al-)o-(2l一0t-u,-Q (1.73) 但已知(1一)，≠0，从而只能有：一0。利用同样的步骤，当将(1.71)乘以 (一A)t时可以导出1一0，当将(1.71)乘以(a1一A)中时可以导出一0， 如此等等。这样，就证得了月一月k一.一问一0。于是，证朋完成。 性质2设：为A的代数重数为©：的特征值，计算秩 rank (l-4) m m-0,1,2, (1.74) 直到m一m,且”m一！为止。再按如下方式生成广义特征向章链（为不使符号过于复 杂，假定”=10,0：=8，m=4,且设=0，典-3，助一6，一7,4一8)： 。n3=1 一别，动1 4-1=3 1-6■3 △ P△(a1-Ao 》A e1lJA（I-A)a Aon A(-4 △(21-4： 其中，P为满足 (il-4)va (-4) 的非零列向量，a和为满足 {,aa}线性无关 (l一A)'pa-0和(l-A)Dn≠0 (l-A)0a-0和(2，l-A)a≠0 的列向量。则如表所生成的，个广义特征向量 {,=1,2,3,4,唱，im1,21 必是线性无关的；或推广为更一般的情况，个广义特征向量 {8,k=1,2,.,ra;8,j=1,2,.,ra; ,B-1,2,.,ta} (1.75) 必是线性无关的，其中m≥ra≥.≥r 且有(ra十ra+.+ra)= 证考虑到性质1和{，P,a}为线性无关，即可证得此性质。 性质3矩阵A的属于不同特征值的广义特征向量之间必为线性无关。 证其证明过程和性质1的推证过程相类同，故略去。 (4)化为约当规范形的变换阵的组成使具有重特征值的系统状态方程化为约当规 范彩的变换阵Q,可按如下方式组成： ·24