7卷第4期 商濟大单单推 al.174 18年12月 JOURNAL OF TONGJI UNIVERSITY Dee. 现代控制理论在三级倒立摆系统中的应用 宋国斌 徐衍华 （电气工程系) 三起有交出市有个电机的三理空摆的新结形式。文中采用 方法导出 之制论的状态反饿控和状态双 关鱸调：状态反镄，能控性，能观性，多变量系统，姿态控制 一、引 言 立撰系统经常城用来检验粹制策略的实际效果，是现代抑制理论研蜜由种较为理都 的实验手段。倒立摆系统就其本身而言是一个不稳定的多变量系统， 必须采用现代控制理论 的方法奕现其 其控制的最终耳标是使倒 摆这样 个不稳定的控制对象，通过引 适 当的控制方式使之成为一个稳定的系统。由于倒立摆系统与火箭飞行及机器人有很大的相伦 性，因此，倒立揠系统的研究对于火箭飞行控制以及机器人控制等现代高技术的研究具有重 要的实践意义，引起各国学者的广泛关注。国外许多学者很早就致力于倒立摆系统的研究， 先后实现了单班倒立摆【)和双级倒立摆的粒制【，1984年Furuta等发表了有关三级倒立 摆英态控制的文章间，文中所设计的三级倒立摆装置不再使用小车和导轨， 同附加了平： ，以使 控制 从80 年代以来， 国内 先后 摆控制 统的研究工作，实现了单级和双级倒立摆的控制。但迄今为止国内尚未见到有关三级倒立摆 整制的研究报滋。 本文设计的三级倒立摆安装在可滑动的小车上，不带附加的平衡杆，能够实现对小车的 位置拉制，因此，其控制的难度要高于文献汇3门中的系统。 二、三级倒立摆试验台及其数学模型 本文所设计的三级倒立摆是在双级倒立摆的基础上改建而成的。图1()为三级倒立搓 本文收到日期19含9能3月】日
商 济 天 簟 ● }t JOURNALOPl"oi~0n UNIVERSITY V ．17 ． D cc． 1980 瑰代控制理论在三级倒立摆系统中的应用 ● 宋国斌 徐衍华 (电气工 程 襄 ) 提 要 本文提出了一种带有两个控制电机的三绸倒立摆的新结构形式．文中采用L咐 a五蠡 方法导 出 三璇倒立摆的数学模型。控宿0系统的设计奇法采用了基于现代控村理论南状态反馈控相知翱状态观 j器 井由单板机通过软件的方法宴现 ．宴 啦结果是每人满意的． 关■饲 ：’状态反 馈 ，能控性 ，能观性 ，多变量 系统 ，姿态控制 一 、 引 言 一 倒立摆 系统经 常被用米 捡验 控制 策略的实际 效果 ，是 现代控制 理论研 究中一种较为理 想 的实验手段 。，倒立摆 系统就其本 身而言是一个 不稳定的多变量 系统 ，必须采 用现代 控制理论 的方法实现其控斛，其控制的最终 目标是使倒立摆这样一个不稳定的控制对象，通过gI八适 当的控制方 式使 之成匀一个稳 定的 系统 。 由于倒立 摆系统与火 箭飞行及机器人有 很 大的相 似 性 ，因 倒立 穗 系统 的研究 对于火箭 飞行控制以及机 器人控制 等现代 高技 术的研 究具有 重 要 的实践意义 ，引起 各国学者 的广泛关注 。国外许多学者很早就致力于倒立 摆系统的研究 ， 先后实现_了单缵 倒 立摆“和双级倒 立摆 的控制“ ，1984年 Furuta等 发表了有关三 缀 倒 立 摆姿巷 控 褂 的文 章 1，文申 所 设 计 的三 级 倒 立 摆 装 置 不 再 使 用 小 车 和 导 轨 ， 同时 附 加 了 平 衡 杆，； 艇藏统 使哥控制 。 80年代 以来，国 内一些 高荨 院校也先后开展 了对倒立摆 控 制 系 统的研究工作 实现了单级稚双级倒立摆的控制 。但迄今为止国内尚未见到有关三级例立摆 控 箭 的研 _究 报 道0 。 ． 本 文设 计的三缀例 立摆安 装在可滑动 的小车上 ，不带附加的平衡杆 ，能够实现 对小 车的 位 置控 制 ， 因此 ，其 控 制 的 难 度 要 高 于 文 献 [3]中 的 系 统 。 二 、三级倒立摆试验台及其数学模型 、 ’ ’ 。 本文所设计的三级例立摆是在双级倒立摆的基础上改建而成的。图 1(口)为三级倒： 立摆- 本文 收到日龃 1989年 3月 T日 + - 、 。 r - 一 维普资讯 http://www.cqvip.com
效鲁资讯e8单o0 52 前防大学学投 拉槐机M2 杆3 电位器2 摆杆3 电位器 EPROM ORT IBM MATROX PU8086 U08 示 68L87 L28K RAM 醚音门 ()三级立摆装置图 (b】三级到立磨系统示愈图 F,Thele二品Itsschemaile dinam 系统的实物图，图1(b)为三级倒立摆系统示意图。三级倒立摆安装在可滑动的小车上，小 车安装在长2m的导轨上。控制电机M1通过皮带轮传动机构控制小车的运动。安装在小 车上的三个摆杆可在如图1(b)所示的X-Y平面上转动，各摆杆及小车之间用滚珠轴承连 接。控制电机M2安装在摆杆8上，经过传动机构在摆杆8和摆杆2的连接轴上箱出-个控 制转矩。在三级倒立摆试验台上安装了各种必需的状态信号检测及控制信号放大装置。单板 机MATROX作为控制算法的运第部件， 其CPU是8086， 8087 数值运算协处率 器。 为了便于对控制过程进行操纵及信号的实时记录，采用IBM-PC/XT作为人机对话的 工具。 在三级倒立摆试验台上有下列信号可经直按量测获得，并送入单板机MATROX中： 摆杆转角差(9：-，)、（仰：一单，）以及小车速度()的模拟量信号，经A/D转换后输入到单板 机，小车位爱(h)以及摆杆1的转角（仰，）以数字量形式直接输入到单板机。经单板机运算盾 求出的控制信号通过D/A转换后输入给同服放大器，以黑动控制电机M1, grange方法 出如图1()所示三级倒立摆系统的动力学方程，对于三级 倒立海系统，假定Lagrange L=2(E4-E) (1) 则Lagrange方程为： (）-()=0+ri=0,123 (2) 其中： Q一关于坐标Q:的非保守磨擦力磨擦转矩
商 审f大 学 学 {曩 第lt藩 (a)三 级倒立摆 装宣圉 (b)三缓倒立撂磊统示意图 图 l 三 瓤 倒立 摆 装 置厦 其示 意图 F ．1 The tr|口leinverted Pendulum instaIIatic~ and itsschematicdiagram 系统 的实 物 图 ， 图 1(6)为 三 级 例 立摆 系 统 示 意 图 。三 级倒 立 摆 安 装 在 可 猾 动 的 小 车 上 ， 小 车安装在长 2m 的导轨 上。控制 电机 1通过皮带 轮传动机 构控制小车 的运 动。 安 装 在 小 车土 的三个摆秆可在如 图 1( )所 示的 一y平 面上转 动 ，各摆 杆及小车之间 用滚 珠 轴 承 连 接 控制 电机 M2安装 在摆杆 8上 ，经过传 动 机构在 摆杆 8和摆杆 2的连 接轴上输 出一个控 制 转 矩 。 在三 级 倒 立 摆 试 验 台上 安 装 了各 种 必 需 的状 态 信 号 检测 及 控 制 信 号放 大 装 置 。 单板 机 MATROX 作 为控制 算法的运 算部件，其 CPU 是 8086， 并带 有 8087数 值 运 算协 处理 器 。为了便于对控制过程 进行操纵 及信号的实时记录 ，采用 IBM—PC／XT作 为人 机对 话 的 工 具 。 。 在 三级 倒 立摆 试 验 台上 有 下 列 信 号 可 经 直 接 量 测 获 得 ， 并 送八 单 板 机 MATROX 审 l 摆杆转角差(％ 一 ’、( 一％)以及小车速度()的模拟量信号，经 A／D转换后输八列单 板 机 ，小车位置 ()以及摆杆 1的转 角伸 )以数 字量形式直接输 入到单 板机。 经单 扳机运 算 爵 求 出的 控 制 信 号通 过 Df．4转 换后 输 八 给 伺 服 放 大 器 ， 以驱 动 控制 电机 M 1， M2。 作 者采用 Lagrange方法得 出如 图 1(6)所示 三级倒立摆 系统 的动力学方程 ， 对于 三 级 例 立摆 系统 ，假定 Lagtan~e算 子 j ‘ L=∑ ( i一如 l'i) (1) f- O 则 Lagrange方程为 ．_ 一 · ‘ 其 中 ： 舌(等)一 ) ，s ㈩ Q。i—— 关于坐标 口；的非保 守磨 擦力或磨擦转矩 ， 维普资讯 http://www.cqvip.com
第4期 未国必等：现代拉制理论在三级倒立课系统中的应用 T一一关于坐标q:的非保守力或电机转短。 对于三级倒立摆系统g:(i=0,1,2,3)分别为： 0=k,1=m4,2=P2,g4= 在列出小车及三个摆杆的动能和势能B,和B后，代人(1)，(2》式，经繁理推导得出 矩阵形式的非线性微分方程组： M(h,L,:P)Y+N(h,P:,:)Y=K+PU (3) (3)中M,N分别为与h,9,P,m有关的系数矩阵，向量卫=[为p,巴：]P,立和业为Y 的关于时间1的一阶和二阶导数，向量U=[,了？为控制向量，K,P为参数矩阵。 对于(3)所示的非线惮矩阵方程，经在工作点(g,=0,9,=0,%=0)位置附近线性化后， 得到了一组线鞋化的微分方程，轻离数化和整理。得到8阶的离散化状态空间老达式 Bu(k) ()=Cx() 〔4) 系统采样时间为15m5。 其中，x=名]，=[中一P4中一中，P]'是不可直接量测的状态子向量，满用状态观刻 器进行伏态的重构。名[,一，~]是可以直接最的状态子向量。 a-[如】-盈] C=f01] )A,A,Aa,B,B,是与系统参数有关的矩阵，1，为5阶单位矩阵。 经分析，（4)式所示的三级倒立摆系统，其状态变量是完全能控和能观的。系统有一个 极点在原点，表明它是一个不稳定的控制对象。 三、状态反馈控制器和观测器的设计及实现 三级倒立控制系统的最终控制目标是使倒立摆这一不稳定的控制对象在工作点附近能 够佩持稳定并有 一定的稳 定裕 及倒立摆控制系统原理图如 图2所示 本文应用最优控御理论设计最优状态反愤控制器，以二次型性能指标作为优化指标。对 于(4)式所示的三级倒立摆系统，设计最优控制律()，以使二火型性腿指标 Jtx(k)Qx(k)+()Ru(k) (6) 为最 其中：Q、R为加权矩阵，Q≥0，R>0,选择不同的加权矩阵参数值，可改变三经倒立 摆用环控制系统的动态特性。通过求解矩阵Riccati方程，求得最优状态反馈控制器方程： u(k》=Fx(k)+F。w(k) (6) 将《6)式化成状态子向量形式得到 )=[R,R,[ ]+R.w (7) 其中：知()为三级倒立摆的给定输入值。 加权矩阵Q、R的选择直接关来到三级倒立据控制系统的动态性能。因此，要爆据三级
第 l期 宋国斌等：现代控糊理论在 互级例立摆系统中的应用 54s 一 一 关于坐标 的非保 守力或 电机转矩 。 对于三级倒立摆 系统 口(f=0，1，2，3)分别 为； 口·=^， I=(ol， (oz， 口，=吼 在列 出小车 及三十摆杆 的动能和势能 既 和 。 后 ，代 八(1)，(2)式，经整理推 导 得 出 矩 砗形 式 的 非 线 性 微 分 方程 担 M (矗， 【，吼 ， 3) +N(^， I，" )王r=五 +PU (3) (3)中 ，Ⅳ 分别为与 ，吼 ， ， 有 关的系数矩阵， 向量 [矗 t a] ， 和 矧 y 的关于时 间 l的一 阶和二 阶导数 ， 向量 u=[ 。 ] 为控制向 量，K，P为参数 矩阵 。 对 于(3)所示 的非线性矩阵方程 ，经在 工作点( =O，吼 =O， =0，位置附近线性化后 ， 得到 了一 组线性{}I二的微分方程，经 离散化和整理 得到 8阶的离散化 状态空 间表达 式 ( +1)=Ax(k)+ Bu<七) ’ (})；Cx(}) ， (4 ) 系统 采样时间为 15ms。 其中； = f， [。一 也一 一 ]是不可直接量测的状态子向量，需用状态观测 器进 行状态日垂构 。也 =[ 一 ％ 一吼 ^] 是可 以直接最涮 静状 态子向量 。 t B=[ ] c 瑚 ¨ ItJ如 ， 扯，丑· 丑l是 与系统参 数有翔 白矩阵 ，L 为 5阶单 位矩阵。 经分析，(4)式所示 的三级例立摆 系统 ，其状态 变量是完 全 控和能观 的。系统有 一 个 极点在原点 ，表明它是一个不 稳定 的控制对 象。 三、状态反馈控制器和观测器的设计及实现 三级 倒立摆 控黼 系统 的最终 控制 目标是使倒立摆 逮一不 稳定的控制 对象在 工作点粥近 能 够佣持稳定 并有一 定 的稳定裕量 。三级鲥立 摆控制 系统原理 图如图 2所 示 。 _本 文虚甩最 忧控制理论 设计最优 状态反 馈控制 器， 以二 次塑性 能指标作 优 化指标 。对 于(4)式所示 的三级 倒立摆 系统，设计最优控制律 u(1c)，以使二 次型性 能指标 ，=E缸 (置)0 ()+ (七) ()] (5) 曲 最小 ． 其中：口、 为加 权矩 阵IQ≥O， >O，选择不 同酶挪 援炬阵参数值 ，可改 变三级倒 立 摆闭环控制系统 的动态特 性 。通过求解矩 阵 R cati方程 ，求 得最优状态反馈控制 器方 程 ： 4( )=Fx( )+F。”( ) (6) 将(6，式化成 状态子 向量形 式得到 “()：[．F1．FtJ_【l'x． A ‘k；]+．Fl() (7) 其 中： ( )为 三 级 倒 立 摆 的 给 定输 八 值 。 加权矩阵 口、 的选择直接关l豕到三级倒立按控制系坑酶动态性能。因此，舞提据三辗 维普资讯 http://www.cqvip.com
54 同许大华学报 第”卷 F. 状态反填位制器 倒立摆系统的实际情况加以确定。本文选取◇矩阵的原则是，尽量使上面摆杆的振幅较小 这样有利于三级倒立摆控制系统的稳定 因此对上面摆杆的转角差的加权值要大 下面 的转角差的加权值。.而对于R加权矩阵的取位原则是、保证控制量，的值不超过同我放 大器的线性范围。通过反复设计和数字仿其。选择Q、R矩阵的参数为 Q=diag[421110203010] R=diagl 20 30 通过求解Riccati方程，得到控制器数为 10 5.7049×10-2 -0.7531 2.0656×102 3.0408×10-] F 1o -0.71890.66710.2381 -0.6465 -3.27419.6809×10-￥ 0.6465 0.5618.-0D486×10-] -[i股 2.0436×10-a 由于在(6)式所示的最优状态反馈控制器方程中， 包含有不可量测的状态子向量（化） 因此必须采用状态观测器实现状态重构。本文采用降阶观测器进行状态重构。按照 Gopinath?方法，得到降阶观测器方程 z(+1)=Ez(k)+G(k)+u(k) (8) (k)=x(k)+L(k) (9) 其中 E-A)-LA G-An-LAn+AuL-LAL H=B1-LB: ,(12) 对于(4)式所示的三级倒立摆系统，设计得观潮器参数：
向 济 大 学 学 报 第 " 卷 图 2 三缎 倒立 摆 控制 系统 原 理 图 Fi|． 2 PzlO~iplc diagram ot Che j e inverted ~ ndulum control system 倒立摆系统的实际情况加毗确定。本文选取 O矩阵的原则是，尽量使上面摆杆的振幅较小， 这样有利于三级倒 立摆 控制系统自嘴 定 ，田此对上 面摆杆 的转 角差 的加 权值要大于下 面摆扦 的转角差的加权值。而对于R加权矩阵的取值原则是，保证控翻量 m， 的值不超过伺服 放 大器的线性范围 ；通 过反 复设计和数 字仿真 ，选择 0、 矩阵 的参 数为 ～ 0 =diag~ 42 1 1 1O 2O 30 10 ] R =diagF 20 30 ] 通过 求解 Riccati方程 ，得 到控制器参数 为 ’ 一 ‘ 。 r 4．2767x10‘ 5．7049x10 ～0．7531 ] ’ 【一2． 4887 ‘ 一 2．0656× 10一： ～ 3． 0408×10一 J 『一O．1194 —0，7189 0．6671 0．2381 —0．6465 1 。L一7．1983×10—8 —3．2741 9．6609xt0—2 ～0．5616 —0D436×lo一2J 0． ． 105 LO 644 。 4 。 ’ ． 2：． 0。436x 10一吨 ]J 由于在(6)式所示的最忧状态反馈控制器方程中，包含有不可量测的状态子向呈 (I)， 因此必须 采用状态观测 器实现状态重构 。本 文 采 用 降 阶 观 测 器 进 行 状 态 重 构 。‘按 -照 G ．mathE 方{去，得到 降阶观测器方程 一 ‘ - z(k+1)= EZ( )十GY(k)+ ( ) (8 ) ；1( )=z(^)十工 ^) (9) 其 中 ： 。．， 丑 =A ”一LA22 (10) G =A 】2一工 姐 + 11工 一工 21工 (11) 丑 =B1一工B： (12 一 对于(4)武所示的三爨铡立撂系统，设计再现溯器参数{ ．√ 维普资讯 http://www.cqvip.com
地香说d四ipm 第4知 宋国黛等：现代控制理论在三级倒立摆系统中的应用 545 2.8963×10- -6.1616×10~35.5037×10 3.1708 2.3711×10 L=1.3031×10-4 -1.5870×105.0888 0.3225 7.5713×10 -1.3911×10-3 4.7140 -2.1694×10-2-4.2829×102-7.0902×10‘ 并由此可计算出B、G、丑矩阵 这样(7)式中不可直接量 《9》式所示的降阶测器的状态面 两值代储，终得到级图状素经优软专松刻降阶观测的家硅。 动=[E,F]+R.w( ,x(k)」 13) (k)=z(k)+L(k) (14) z(k+1)=Ex(k)+GM(k)+H(k) (15) 上述算法由单板机MATROX用软件的方法实现，采用的编程语言为Poly Pascal和8086 /8087汇编语。 四、实时控制结果 作者采用本文设计的最优状态反馈控制器和降阶观测器，对三级倒立摆系统进行实时控 制，取得了令 入满 的结果 当系统给定输入为零时，实时控制响应曲线如图8所示。其中 ,-P1,9-9,分别表示摆杆2和摆杆1，摆杆8和摆杆2之间的转角差，单位为0.1rad, P1表示摆杆1的转角，单位为0.1「ad,青分别表示小车的位置及其速度，单位分别 为m和m/s,:、:分别为控制电机M1,M2的控制最，单位为V和A。 2.00r-0.1e. .LophnbA .00 2. 0010.0 .00 r 0.00 .00 8.08.010.0 2.0002.0408.08,c10.0
第{期 束田斌等：现代控制理论在兰级倒萼攥累l统中的应用 2．8963x 10一 一 6．1616× 10～ 5．5037× 10一 3．1706 1．3031× 10一 一 1．5870x 10一。 5．0888 0．3225 ’ 一 一 1．3911× 10～ 4．7140 — 2．1694×10一 一4．2829× 10一 并由此可计算出 虽、G、丑矩阵。 2．3711× 1O 7．5713x 10 — 7．0902× 10 这样(7)式中不可直接量测 的状态 子向量 -可用(8)、‘9)式所示 的降新观 测 器酌状 态 蜜 jf姆值 代替 。最终得到 三级 倒立摆系统最优状态反馈控 制器和降 阶观 器 的控制算 法 t 。<=[FFz][L，： ‘k'J1+F(t) (13) ；l(^)==< )4-工 <t) (14) <t+1)=Ez(t)+G <t)-F日 ( ) (15) 上述算法 由单板机 MATROX 用 软件 的方法 实现，采用的犏程语 言 为 Poly PascM 和 8086 ／8087j亡箱 语肓 。 r 四、实 时 控 制 结 果 作者 采用本 文设计 的最优 状态反 馈控制器和降 阶观测器 ，对三级 倒立摆系统进行 实时控 制，取碍了令人满意的结果。当系统给定输入为零时，实时控制响应曲线如图 8所示。其中 吼 一 ， 一吼 分别表 示摆杆 2和摆杆 1，摆杆 8和摆杆 之间 的转 角差，单位为 0,1 rad， 表示 摆杆 1的转 角，单位为 0．1rad} ，^分 尉 表 示 小 车的位置及其 速度，单 位 分别 为 m 和 m／s’≈h 饥 分别为控 制 电机 3／1，M2的控制量 ，单 位为 V和 A 一 2． 2． O 2．∞ Jr ' 0． o0 三 0．9o 2,oe 4,0o S．OO $；00 to．oo r(sJ ，J一 u-1. _ _ lI-Ij ．I _ m ’．’l町 -1酮“．1『I 一 ． 一 . ～ ． ． ．．． ． 一 . ， 一 ， ． ． ： 维普资讯 http://www.cqvip.com