e=Ax十Bm y=Cx+Du (1.23) 和 ∫e-f(x,u) (1.24) y-g(x,u) 定常系统在物理上代表了结构和参数都不随时间变化的一类系统。严格地说，由于 内部和外部的影响不可能做到使系统的参数或结构完全不变，因此定常系统只是时变系 统的一种理想化模型。但是，只要这种时变过程比之系统的运动过程足够地慢，则用定常 系统代替时变系统进行分析仍可保证足够的精确度。由于时不变系统在分析和综合上的 简单性，特别是(1.23)所示的线性时不变系统，将是我们在以下各章讨论中的重点。 连续系统和离散系统连续系统的一个基本特点是，不管是作用于系统的变量，还是 表征系统形态的变量，都是时间：的连续变化过程。自然界和工程界中的绝大多数系纷 都是连续系统。连续系统的状态空间描述中，状态方程具有微分方程的形式，而输出方程 为连续的变换方程。相对于各类系统，连续系统的状态空间描述分别如(1.19)、(1.20)、 (1.23)和(1.24)所示。 当系统的各个变量只取值于离散的时刻时，相应的变量间的因果关系或变换关系，就 必须采用离散时间系统来表征。离散时间系统简称为离散系统，它可以是一类实际的高 散封间问题的数学模型，如许多社会经济问题，生态问题等，也可以是一个连续系统因为 采用数字计算帆进行计算或控制的需要而人为地加以时间离散化而导出的模型。离散系 统钓状态空间描述中，状态方程为差分方程，输出方程为离散时间变换方程。就线性系统 而言，时变离散系统的状态空间描述为 x(4+1)=c(x()+H)u(0 (1.25) y()=C()x()+D()u() 其中，G()、H()、C()和D()为随变化的时变矩阵，离散时刻飞=0,1,2，·， ,1为某个正整数。相应地，由(125)所描述的线性时变离散系统的方块图如图1.5所 示。进而，当系统为定常时，则线定常离散系统的状态空间描述具有如下形式： +》2zSt,青-o,. (1.26) D() 队幻8拉c()热 G 图15线性离散系统的方块图 确定性系统和随机系统所谓确定性系统，是指系统的特性和参数是按确定的规律 15·
而变化的，且其各个输人变（包括控制和扰动）也是按确定的规律而变化的。确定性系 统的一个特点是，其状态和输出变量部为时间：的确定性函数，通过分析可以确定这些变 量在任一时刻的值。在随机系统中，不同于确定性系统，或者系统的特性和参数的变化不 能用确定的规律来描述，或者作用于系统的变（包括控制和扰动）是随机变量，或者两者 兼而有之。随机系统的特点是，不能确定其状态和输出变量的直按时间过程，只能确定其 统计的规律性。通常，对随机系统的分析远比确定性系统要复杂，只能采用概率统计和随 机过程的理论与方法来加以处理。在本书中，我们将限于研究确定性系统的分析和综合： 有关随机系统分析和综合的理论和方法可参阅随机控制或随机系统理论的教材或专著。 13化输人-输出描述为状态空间描述 由输人一输出描述确定状态空间描述的问题称为实现问题。关于实现问题的一般理 论和方法将在第9章中系统地讨论。本节中，限于单输入一单输出的线性定常系统，讨论 由系统的输入一输出时域描述导出其状态空间描述的方法，目的是使对状态空间描述及 其与输入~输出描述间的关系有一个更为具体和更为直观的了解，以为进一步讨论的基 础。 问题的提法考虑一个单输人-单输出线性定常系统，令y和“分别为其输出变量和 输入变量，则输出和输入间的因果关系可用如下的一个单变量高阶薇分方程来描述： ya+a,-ya-0+.+ay0+y -bnm)+bn-wm-D十.+b0+b (1.27) 其中，y△d'y/dt,4”△dw/d4,m≤。另一方面，如上一节中所指出过的，线性定常 系统的状态空间描述必具有如下的形式： ∫e-Ax+bm y -ex dw (1.28) 由于所考虑的为单枪入-单输出系统，所以这里b为n×1阵，©为1×m阵，而为标 量。是，由输入-输出时域描述(127)导出状态空间描述(128)的问题，就归结为选取 适当的状态变量组与确定各个系数矩阵人、6、·和。并且，随普按不同方式来选取系 统的状态变量组，状态空间描述中的系数矩阵组(A,b,©，)也将相应地不同。下面， 我们来给出两种典型的算法。 算法之一为便于讨论，引入微分算子符号p一d/,则可进而把(127)的输入 输出描述表示为如下的形式： y-2+P++p土6” (1.29) 1十··十ap十a。 并且容易看出，当m一#时上式中的有理分式是真的，而当m<#时这个有理分式是严 格真的。考虑到对应于这两种情况下的状态空间描述有着不同形式，所以下面分别加以 讨论。 (1)当m<时：首先，将(1.29)进一步改写为 。160
5一p+p可+.+p+4 1 (1.30) ly-(omp"+ba-1p-1+.+p+bo)i 或将其表示为如下的形式： 1+a-0+.m0+a7-# y=bm产m+b-的m-w+.十610十b (1.31) 进万，选取状态变量组为： 南=，=0，.，x,一0 (1.32) 子是，由此就可得到： x-1=子a-0一x。 (1.33) 和 ybe+b1+·▣十bn+ (1.34) ,x,]T为状态向量，其中上标T表示转置，那么通过把上述方程(1.33) 和(1.34)表为向量方程的形式，就导出了此种情况下对应于输入-输出描远(1.27)的 状态空间描述为： 0 10 -,- y=[b,.,be,0,0]x (1.35) 例给定系统的输人一输出描述为： y)+16y+194y”+640y=1604+7204 则利用(135)即可定出相应的一个状态空间描述为： 因[ y-〔7201600] Ix. (2)当m一时：先将(1.29)中的有理分式进行严格真化，可导出： y+4 -a2++ (1.36) 并由此可进而表为： 年17
+a.-0+.+a0+a一 ·+(b一ba+bw (1.37) 注意到(1.37)的第一个方程等同于(1.31)的第一个方程，所以在按(1.32)的状态变量组 的选取下，可知其状态方程同于m<的情况。而由(137)的第二个方程，则可进而得 到： y-(b一bn)+.+(5。-4一b.4w-)x,+b.耻 (1.38) 由此即可导出此种情况下对应于输入-输出描述(127)的状态空间描述为 0 0 y=[(bn-b.),.,(b.-4一b.a,-)]x+b4 (1.39) 例给定系统的输人一输出描述为： y+16y+194y+640y-4+160+720 则利用(1.39)即可定出其相应的一个状态空间描述为： }「0 y-1840-616-64+4 x, 算法之二为易于選解，不妨区分为m一0和m一m的两种情况来进行讨论。实质 上，m一的情况代表了一般的情况。当m为小于n的任意正整数时，即等价于所讨论 的楷况中，系数g一0，青=，n一1，.，m十1。 (1)当m=0时：此时，输入-输出描述(1.27)可写成为： y (1.40) 再取状态变量组为： (1.41) 那么，由此就可导出 y-n (1.42) 和 =yw-1 y动x . (143) 多1my少n-0一 令状态向量一【，]，并将上述方程表为向量方程的形式，即得到此种情况下 的状态空间描述为： ·18
y=[10·0]x (1.44) (2)当m一时：此时，输入-输出描述具有如下的形式： y+a-y-+.+ay0+ay -bm+.+br+bn (1.45) 并把状态变量组取为y和及它们的各阶导数的适当组合： 尚-y-w 5=y0一Ax田-月w {1=y四一A0-Aww-w (1.46) 玉，=ym-0一B4s-0一月-0-.-B.-ww-B-w 式中，待定常数B,品，·，日.1的计算式可这样地来导出：先由(1.46)可得 rgcy=a31十da83o ayo-a1%++angw ,-o+a+aR0+a8 (1.47) ym1一x+1+月wm+-0+.+B-1w+B 容易看出，(1.47)各式的等式左边相加的结果即等于式(1.45)的等式左边的表达式，因 此(1.47)各式的等式右边相加的站果必等于式(1.45)的等式右边的发达式，从而有 +.+a十a}+{+(+a-8 +(B。+a-,-1+.+a8+aa)w} =b】++b.0+b。 (1.48) 比较上式中（行一0,1，）的系数，于是可导出： 3。b 2-b,-a-aa-8-4w-2 (1.49) 进而，由(1.46)、(1.45)和(1.48)，又可得到： 南一y-a0-马+n (1.50) ·9