Q=[2.:.:Q】一#×m眸 (1.76) (1.77 2k=[知限，保，·，p限]—m×r转阵 (1.78) 其中，=1,2，.，l,-1,2,.0 利用变换一Qx,通过推导，即可得到约当规范形(1.61)-一(1.53)。具体的推 导过程略去。 例给定线性定常系统的状态方程为 =Ax十B 其中 -1 1 1 0 1 -1 -1 0 一1 0 0 2 0 1 A 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 将其化为约当规范形的计算步骤如下： @计算矩阵A的特征值 由dt(a1一A)一(1一2)%，可定出其特征值为2=2(a-5)和=0(=1)。 @对1=2，计算rank(l一)，m=0,1. (21-4)°=1，rank(21-43-6,e=0 1 -1 -1 0 01 一1 1 0 0 (21-A= 00 0 0-1-1 0 0 0 1 rank(2!一A)=4 0 0 =6-4-2 0 0 -1 L00 0 0 -1 L 2 2 0 00 2 2 0 00 0 0 (21-Ay= 0 0 ank(21一40：-2 0 0 0 0 一2 =6-2=1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 (21-4= 0 0 0 0 0 0 ,raak(2-A)'1 0 0 0 0 ,“6一13 0 4 一4 0 0 0 4 ·25·
因一，故计算可到此为止。 国确定A的属于4一2的5个线性无关的广义特征向量 首先，可列出下表： -1=2 (2!-A)e △ PA(Z-A) A(2-1)'ou 并且，由满足 (21-A)'0:-0和(2I-A)o1≠0 可定出一个列向量为一【001000],从而有 2 一1 「07 2 1 0 △(2l-40eu 0 。 0 0 0 -0 再由满足 {a,}线性无关，(21一A'ea-0,(2I-)pa≠0 可定出一个列向量u一【001 一111]7，从而又可导出 0 0 0 0 8(21-A0Pa 0 1 ④确定A的属于一0的特征向量D: 由(1,1一4)m=一4知，一0，可定出4的高于2一0的一个特征向量为 2-[00001 17r ⑤③组成变换阵Q Q一[州曜曜 厂2 -10 0 0 07 2 10 0 0 0 0 01-2 1 0 0 0 -1 0 0 00 0 1 1 10 00 0 1 -1 ·26
其逆可求出为： 083 2 0 00 0 1 0 0 0 0000 00.03- @导出状态方程的约当规范形 -0+-Bu 「2100001 -1 021 0 0200 0 十 a 0 00210 0 00 02 0 00 000 1 其中，变换后的状态向量为： }+} 十 亲=9x= 1.5由状态空间描述导出传递函数矩阵 对于多输入~多输出线性定常系统，传递函数矩阵是表征系统输出~输入特性的最基 +27+
本的形式。本节中，我们从系统的状态空间描述出发，来导出系统的传递函数矩阵。也就 是，从另一个角度，来揭示状态空间描述和输人-输出描述间的关系。但是，这两种描述间 的更为深刻的关系，只有在研究了系统的能控性和能观测性后，才能得到完全的揭示。这 方面的讨论，将在第3章中给出。 传递函数矩阵考察多输入一多轴出的线性定常系统，令输人变量组为{，斯，·.， ,小，输出变量组为{，a,.,y,},且假设系统的初始条件为零。用（心）和()分 别表示和的拉普拉斯变换，()表示系统的由第个粮人端到第：个输出的传 递函数，其中一1,2，.，9，氵一1,2，·，P,那么由系统的线性属性（即满足叠加原 理)可以导出： [.(）一(）(s）+ga(s)(s)+.+g(e),() 9(r）■g(s)(s)+6(c)(c）+.+gp(s)在，(s) (1.79) (9,(c)-g(r)m(r）+g(s)a()+·+g(s),(e) 其向量方程的形式则为： () ()a: ,()」【g(c).gr(s)]p()]」 -G()() (1.80) 我们称由上式所定义的G()为系统的传递函数矩阵。容易看出，G()为4×中的一个 有理分式矩阵。并且，当G()的元传递函数()(i回1,2，···，9，j=1,2,···,p) 除严格真外还包含真有理分式时，即它的 一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具 有相等的最高幂次时，称G()为真有理分式矩阵：而当()均为严格真有理分式时，即 ()的分子多项式的最高幕次均小于分母多项式时，称G()为严格其有理分式矩阵。 通常，当且仅当G()为真的或严格真的时，它才是物理上可以实现的。作为一个判别准 则，当且仅当成立 mG()一零阵 (1.81) 或 mG()一非多常阵 (1.82) 时，相应的传递函数炬阵G()为严格真的或真的。 传递函数矩阵的(A,B,C,D)表示的基本关系式现在，我们来导出由状态空间 描述的系数矩阵所表示的G()的关系式。 结论对应于状态空间描述 +0-. (1.83) 的传递函数矩阵为 G(s)-C(sI-A)B+D (1.84) 并且，当D≠0时G()为真的，而当D▣0时G()为严格真的，且有 ·28
lim G(s)-D (1.85) 证对(1.83)作拉普拉斯变换，可导出 作()=A()+B() 1()-c()+Da() (1.86) 进而，由(1.86)的第一个关系式又可得到 (sl-A)()=B(r) (1.57) 且考虑到(1一)作为多项式矩阵必是非奇异的，因此(1.87)可改写为： (s)=(sI一A)1B(s) (1.88) 而把(1.88)代入(1.86)的第二个关系式，即得到 5()=[c(l-4)B+D]() (1.89) 从而，由此就可导出(1.84)。再考虑到 (s!-adi(sI-)/det (sl-) (1.90) 且adj(sl一A)的每个元多项式的最高幂次均都小于dt(sl一4)，所以必有 im(-)1=0 (1.91) 于是，由(1.91)和(1.84)即可导出(1.85)。进一步易知，当D≠0时G(∞)为非零常阵， 放由(1.84)给出的G()为真的：而当D一0时G(∞)为零矩阵，所以相应地G()）为严 格真的。至此，证明完成。 G()的实用计算关系式由(1.84)给出的关系式建立了传递函数矩阵G()和状 态空间描述的系数矩阵之间的关系，它在理论分析上是很重要的，但从计算的角度而言常 常不很方便，特别是采用数字计算机进行计算时尤其如此。下面，我们来给出由{4，B, C,D}计算G()的一个实用算式。 结论 给定状态空间描述的系数矩阵{A,B,C,D1,求出 a(c）4dct(l一A)=s"+a。-1+·+as+ (1.92) (E-=CB E-CAB aCB ，。 （1.93) E=C-2B+a-C-B+.+%C8 E。=CA-1B十a。-1CAw-2B十···十a:CB 则相应的传递函数矩阵就可按下式来定出： G()=[E。-1+E-+.+E+E,l+D (1.94) a(s) 证首先，来推导(l一A)1的一个关系式： 1-0-得=名-8 adRm+R9+.+Rr+R1 (1.95) 其中R,R,·,R可这样地来定出：将上式等式两边右()(l一)，可得到 ■29