和输入~输出描述不同，状态空间描述中把系统动态过程的描述考意为一个更为细致 的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。 输入引起状态的变化是一个运动的过程，数学上必须采用微分方程或差分方程来表 征，并且称这个数学方程为系统的状态方程。就连织动态过程而言，考虑最为一般的情 况，则其状态方程为如下的一个一阶非线性时变微分方程组： 离=(.，￥；期，.，部) (L.10) 一(，.，) 进而，在引人向量表示的基础上，还可将状态方程简洁地表为向量方程的形式： 一f(x,),≥ (1.11) 其中 - 「h(x,a,)} ,f(,a,) (1.12) L. /.(x,a,) 状态和输入决定输出的变化是一个变量间的转换过程，描述这种转换过程的数学表 达式为变换方程，并且称其为系统的输出方程或量测方程。最为 一般情况下，一个连续动 力学系统的输出方程具有如下的形式： (1.13) yg=g,（1,··,x.:1,···,p) 或表为向量方程的形式则为 y=g(x,a,） (1.14) 其中 [g(x,a,) 3- ，g(x,)一 (1.15) b. e.(x,u,)} 系统的状态空间描述由状态方程和输出方程所组成。由于采用向量方程的形式，当 状态变量，输人变量和输出变量的数目增加时，并不增加状态空间描述在表达形式上的复 杂性。特别是，如果限于考虑线性的连续动态过程，那么此时在系统的状春方程和输出方 程中，向量函数(x,。,)和(，品，)将都具有线性的关系，从而线性系统的状态空 间描述可表为如下一般形式： ∫e=()x+B(a,≥n (1.15) yC(t)x十D(c)a 其中，各个系数矩阵分别为 「bu(t）.b,(e)l B() lc）.0(] lb.b.(0j 10
[5()·c(l 「dn(e).d,(t)l G()= d().d(t)J 我们转而讨论离散动态过程的状态空间描述。离散时间动态过程的一个基本特点 是，系绕的各个变量都被处理成为只在离散的时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻 的变量组间的因果关系和转换关系。用收一0,1,2，·来表示离散的时刻，那么离散时 间系统的状态方程和输出方程的最一般的形式为： x(+)=f(x(,以)，0，-0,2，. y()一g(x(),a(k),) (1.17) 对于浅性的离散时问系统，则上述状态方程和箱出方程还可进而化为如下的形式： x(+)-G()x()+H(R)(), =0,1,2, y()-C(k)x()+D()() (1.18) 通常，可以采用两条可能的途径来组成系统的状态空间描述。一是分析的途径，道用 于结均和参数为已知的系统。它先直接运用相应的物理原理组成系统的动力学方程，然 后通过选取合适的状态变量组，进一步把系统腻始方程化为上述形式的状态方程和箱出 方程。另一是辩识的途径，适用于结构和参数难于搞清楚的系统。它通过实验手段取得 数据并采用适当方法确定系统的输入一出模型，然后再由所得到的系统输入一粮出描述 来导出相应的状态空间描述。这里，前一个步骤称为系统辩识和参数估计，其内容已超出 了本书的范固。后一个步骤称为实现问，在后几节中将就单输人~单出的情况来讨 论这 一问题，而有关实现问题的更一般和更完整的论述将在第9章中给出。 系统状态空间描述的列写举例下面，就一些简单的系统讨论其状态空间描述的组 成问盟，意在阐明列写系统的状态方程和输出方程的一般步骤。 例1 考察图13所示的简单电路，电路各组成元件的参数值为已知，输入变量取为 电压源()，输出变最取为电阻R,的端电压w。 园T 图1,3一个简单电路 确定状态变量：根据电路理论可知，此电路最多有2个线性无关的变量：因此，可选 取独立储能元件的变量，即电容端电压和流经电感的电流红，作为电路的状态变量。 列出原始电路方程：运用电路定律，对图中两个回路分别列出电路方程为： 右回路 +R所一L 左回路 R,(i+)+Le( 考虑到规定，和i红为状态变量，并有。一Cd,/d红，所以将上述方程组进而改写为只包 ·11
含未知变量和红的方程组： Rc尝-L经- R,C+L-一RL+( 导出状态方程：首先，以d/d:和/d:为待定变量求解上述联立方程，得到 会-一R+c-十kc+(风十Rc0 R 告-RR两-iRR阿+RRw R.R 进而，将其表为向量方程的形式，就导出了此电路的状态方程为： 1 Rt 1- +R)C一(R+cr%]+KR,+)G e() R LR,+RD一L(R+R)」 LOR,+R 导出输出方程：根据电路关系式，有 如一风财一c竖-马元+元经+属子尼 -R K2 将其改写后即得到此电路的输出方程为： n-【-是元一北]+子xw 例2考意人口分布问题。设某国1988年的人口分布为：城市人口为10？，农村人 口为9×10'。人口的流动情况为：每年有4%的上一年城市人口迁去农村，同时有2% 的上一年农村人口迁到城市。整个国家的人口自然增长率为1%。 确定状态变量：城市人口和农村人口 魏立人口按年分布方程：取1988年为（一0，则？十1年时城市人口和农村人口的 分布方程，可以定出为 (k+1)-1.01[(1-0.04)x()+0.02x(k)] (k+1)=1.01[0.04x()+(1-0.02)x()1 导出状态方程：把上述联立方程表为向量方程的形式，即得到人口分布的状态方程 为： [E+]-888;8963l[84-o.2 [0.96960.02021r()1 L1-Lx 1.2系统按其状态空间描述的分类 系统的状态空间描述是其动力学特性的完整表征。各类系统在结构上和特性上的质
的差别，将表现为它们的状态空间描述在类型上的不同。本节中，我们来讨论系统按其状 态空间描述进行分类的问题，其目的实际是要引入有关系统的一些基本术语以及它们的 正确含义。 线性系统和非线性系统在选定的一组状态变量下，称一个系统为非线性系统，当且 仅当其状态空间描述 -a (1.19) 中，向量函数f(x,a,)和g(x,)至少包含一个元为变量1，·，“n和M1,·,p 的非线函数。若向量方程中(x,“,)和g(x,4,)的所有元都是变量 13 ,·,和，的线性函数，则称相应的系统为线性系统，并可将其状态空间描述表示为如下 的形式： ∫x.A()x十B( y-c()x+D(t)a (1.20) 其中，系数矩阵(：)、B()、C()和D()均为不侬赖于状态x和输入a的时变矩阵。 严格地说， 切实际的系统都是非线性的，线性系统只是实际系统在忽略某些次要 的非线性因素后的一类理想化的模型。但是，同时应当指出的是，相当多的实际系统都可 按线性系统看待和处理，其分析结果将可在足够的精度下接近于系统的实际运动状态特 别是，如果只限于考虑系统在某个()的一个邻域内的运动时，那么任一非线性系统 都可在这一邻域内用一个线性系统来代替，其状态空间描述也可容易地由非线性描述 (1.19)来导出。设相应于x()的状态空间描述为 ∫=f(x,6,) =g(x,4,） (1.21) 并将(1,19)中的向量函数f(x,)和g(×,a,)在(，)的邻城内进行台劳展开， fx,a,)一f(,a,)+()。x+(时)a +a(8x,8a,) ,a,)-g(x,）+(g2)x+(器入加 +6(8x,8u,) 英中，xx 一，a(8x,8,)和(8x,u,)为台劳展开中的高次 项。再据向量对向量的求导规则，表 做.影 13
此.影 (器() B( (入-() -c() 隐.影 (器。-（器） =D(e) 则在略去台芳展开中的高次项后，就可导出(x,)的邻域内非线性系统(119)的线性 化状态空间描述为 (1.22) =8(x,)一g(x,）=C()6x+D()8m 容易看出，(122)即为系统的薇偏运动的数学描述，当邻城愈小时线性化模型(1.22)能 以愈高的精确度代替原非线性系统(1.19)。 比之非线性系统，线性系统无论在分析上成综合上都要简单得多。因此，对于大多数 实际系统，通常都通过一定的简化而化为线性系统问题来加以研究。此外，为形象化表 示起见，还常将线性系统的状态空间描述(1.20)表示为图1.4所示的方块图。 D(E) c)8- A) 图1,4线性系统的方块图 时变系统和时不变系统当且仅当系统的状态空间描述中显含时间·时，即向量函 数F和g或系数矩阵A、B、C和D是包含·的函数时，称相应的系统为时变系统。通带 色称时变系统为非定常系统。时变系统的状态空间描述如(1.19)或(1.20)所示。 时不变系统又称为定带系统。时不变系统的特点是其状态空间描述中不显含时间 。相对于线性系统和非线性系统，定常系统的状态空间描述的表达式为