也为全面介绍线性系统理论增加了困难。因此，本书将从通用性和应用性的角度考虑，限 于以状态空闻法和多项式矩阵法为主来介绍线性系统的分析与综合理论和方法，这种体 系和取材方式对于非数学专业的理工科学生和读者将是适宜的。 本书中，把线性系统理论分成为时间城理论和复频率城理论两部分，从某种意义上说 两者是相对独立的，代表了两种常用的方法体系。但是，在狠多情况下，这两种方法之间 也是互相渗透和交叉应用的。在线性系统的时间域理论这一部分中，用以描述系统的数 丝模型限于 (Ax(1 Bu( y()=Cx()+Da() (0.1) 及其对时变情形的推广。上式是以向量方程的形式表示的一阶徵分方程组和变换方程组 分别称之为状态方程和输出方程。而在线性系统的复频率域理论那一部分中，系统的数 学模型采用为 ()-G(s()-N()D-(s)(s)=A-()B(s)() (0.2) 它是拉普拉斯变换域内输出y和输入u间的外部播述，G()称之为传递函数矩阵，其元 是有厘分式函数，N)D()和A()B()是G()的多项式矩阵分式指述。本书中 有关线性系统的分析和综合的论述，均是在(0.1)和(0.2)式所示的系统模型的基础上 送行的。 在第一部中，从(0,1)式出发。系统地过论分析和综合线性系统的状态空间法，分为 五章。第1章讨论状态空间描述的基本概念、组成方法和基本性质，这些是状态空间法的 基础。在第2章中，着重讨论线性系统的定量分析，分别就线性连续系统和线性离散系 统，建立了系统的状态相对于初态和输入的响应的一殷表达式，并且在此基础上研究了连 续系统的离散化问题。第3章讨论能控性和能观利性。在线性系统理论中，这是两个昆 为基本的概念。这一章中将给出它们的严格定义和判别条件。在此基础上导出的规范分 解定理则进一步揭示了状态空间描述和传递函数矩阵描述间的关系。在第4章中，主要 讨论了李亚普诺夫稳定理论，除了线性系统外，讨论也涉及到了非线性系统。第5章中专 门讨论线性系统的综合问题，针对一些典型的综合问题如极点配置、镇定、解耦控制、跟 踪、浅性 次型最优控制等，给出了可综合条件和综合控制律的算法。此外，状态重构问 题和观测器理论也将在第5章中论述。 第二部分（第6到11查）以(0.2)式所示的系统模型为中心，采用多项式矩阵方法详 细地论述了线性定常系统的分析和合问题。第6章是数学基础，拒要地介绍多项式矩 阵的基本属性、计算和变换，它们是后面各章的准备知识。在第7章中，着重讨论传递函 数矩阵的矩阵分式描述，对矩阵分式描述的一些重要属生如真性、不可简约性、规范形描 述等进行了系统的论述，多项式矩阵法正是建立在这种描述的基础上的。第8章讨论了 多变量系统的极点和零点，给出了极点和墨点的各种定义和相应的一些重要关系式，极点 和零点是复频事域内多变量系统的最重要的结构特性。第9章中引出了实现的概念，对 我性系统的炬阵分式描述和 态空间描运间的对应关系作了详细的讨论，沟通了能控性 与能观测性和豆质性间的关系。第10章是对线性系统的多项式矩阵描述的一个简短的 ·5
论述，这种描述有别于状态空间摇述和矩阵分式描述，基于这种描述导出的严格系统等价 变换对于运用多项式矩阵法分析和棕合线性系统是很重要的。最后在第11章中，系统地 研究了线性定常系统的复率城分析和综合，分析了组合系统的能控性、能观测性和 定性，讨论了状态反馈的频率域属性，给出了相对于各种典型的性能提法下补偿器的综合 理论和算法。 ·6
第一部分线性系统的时间域理论 第1章线性系统的状态空间描述 线性系统的时间城理论，是指以时间域数学模型为系统描述的，直控在时间域内分析 和综合线性系统的运动和特性的理论和方法。在系统和控制理论发展的早期阶段，时间 域理论只能用来分析单输人一单输出系统的运动，系统的描述是反映输出一箱人关系的单 空量高阶微分方程，分析的方面主要限于运动的稳定性。60年代以后，卡尔曼将状态 和状态空间的概念和方法系统地引入到系统和控制理论中来，极大地推动了时闻域理论 的发展，把时间城理论发展成为既适用于单输人一单输出系统又适用于多输人~多箱出系 统的，新可处理定常系统又可处理时变系统的，既能用来分析系统又能进行系统综合的 完的和成然的理论和方法。这一理论的特点是，采用状态空间描述作为系统的数学模 型，并以状态空闻方法为核心。本章中，我们首先来讨论建立系统的状态空间描述问题， 包括状态和状态空间的概念，状态空间描述的组成和形式，以及状态空间描述在变换下的 特生等。在随后的各章中，我们将在状态空间描述的基硒上逐步啊明系统的结构特性和 采用状态空间法分折、综合线性系统时要解决的各种问题。 11系统的状态空间描述 动态过程数学描迷的两种基本类型考茶一个系统，它是由一些互相制约的部分构 成的整体，可用图11的 一个方块来表征。方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作 用为系统输人，系统对环境的作用为系统输出，两者分别用，.，和y,y,来表 示，它们被称为系统的外部变量。用以刻划系统在每个时刻所处状况的变量是系统的内 变景，用， ,x,来表征，这些变随若时间的变化体现了系统的行为。系统的数学 拱述裁是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。 Up- 图1,1系统的方块图表示 随管选取不同的变业组间的因果关系来表征系统的动态过程，系统数学描述常可区
分为两种基本的类型。 一是系统的外部描述，又称为输出一输人描述。这种描述的前提 是把系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结构和内部变量，只是反陕外部变量组间 的因果关系即轴出和输人间的因果关系。如果系统是线性的且其参数是定常的，并且只 有一个输出变量和一个粮人变量，那么其外部描述为如下形式的一个线生常系数微分方 程： ym+aw-tym-0+.十ay田+w 一b,-0+b-+.十bnw0十b (11) 其中，yr△dy/d,wAr/d,和均为实常数，i一0,1，m,i-0,1,., ”一1，如果对上述方程取拉普拉斯变换，并假定系统具有零初始条件，则由此可得到系 绕的复频率城描述即传递函数 b-十.十g+, c(0=++.+a+ (1.2) 系统的另一类型描述是内部描述，也即状态空间播述。内部播述是基于系统的内部结 构分析的一类数学模型，它需要由两个数学方程来组成。一个是反映系统内部变景组 (,.x)和输人变最组(，.，)间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差 分方程的形式，称为状态方程。另一个是表征系统内部变量组(，)及输入变量组 (1,·,4,)和输出变量组(y,·,y,)间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形 式，称为输出方程。 在以后的分析中将可看到，外部描述一般地说只是对系统的一种不完全的描述，它不 能反映黑箱内部的某些部分。内部描述则是系统的一种完全的描述，它能完全表征系统 的一切动力学特性。只是在系统满足一定属性的前提下，这两类描述之间才具有等价的 关系。有关这方面的详细的讨论将在第三章中给出。 状态和快态空间系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基础上的： 状态和状态空间本身，并不是一个新的概念，长期以来在质点和刚体动力学中得到了广泛 的应月。但是，随着将它们引入到系统和控制理论中来，并使之适合于描述系统的动态过 程，这两个概念才有了更为一般性的含义。 动力学系统的状态定义为完全地表征系统时间城行为的一个最小内部变量组。组成 这个变量组的变量《，(，()称为系统的状态变量，其中：≥，为初始时 刻。由状态变量构成的列问量 x() ，tn (1.3) Lx() 称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为状态向量取值的一个向量空间。考 意到状态变量()，()，.，x()只能取为实数值，因此状态空间是建立在实数域上 的向意空间，其维数即为”。对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中的一个点；而 状态随时间的变化过程，则构成了状态空间中的一条轨迹。 为了正确理解状态和状态空间的含义，有必要对其定义作如下几点解释：①状态变 量组可完全地表征系统行为的属生体现在：只要给定这组变量()，()，·，x《)在
切始时刻的值，以及输人变量()，()，“，()在：≥和各瞬时的值，则系绕中任 个变量在：≥时的运动行为也就随之完全地确定了。②状态变量组的最小性休现 在：状态变量()，()，*()是为完全表征系统行为所必需的系统变量的最少个 数，减少变量数将破坏表征的完全性，而增加变量数将是完全表征系统行为所不箭要的。 ③状态变量组在数学上的特征体现在：(，()，·，()构成系统变量中线襁无关 的一个极大变量组。④状态变量组包含了系统的物理特征：当组成状态的变量个数”为 有穷正整数时，相应的系统为有穷维系统，且称为系统的阶次；当为无穷大时，相应的 系统则是无穷维系统。一切集总参数系统都属于有穷维系统，而一切分布参数系统则网 于无穷维系统。⑥状态变量组选取上的不难一性：由于系统中变量的个数必大于舞，而其 中仅有”个是线性无关的，因此决定了状态变量组在选取上的不唯 一姓。 系续的年 选取的两个状态变量组之间为线性非奇异变换的关系：设x和为任意选取的两个状 态向量： (1.4) 划据状态的定义可知，.，为线性无关，因此可将.，出，的 一个变量表为 1,·,的线性组合，且这种表示必是唯一的： A国+.+p (1.5) 通过引入系数矩阵，则上式还可表为 x=Pa (1.6) 其中 (1.7) p1.p. 同理，由于，。也为线性无关，因此又有 至=Qx (1.8) 从而由(1.6)和(1.8)可立即导出 PO -OP -1 (1.9) 表玥P和Q互为逆，也即任意选取的两个状态x和￡为线性非奇异变换关系。 动力学票统的状态空间描述在引入了状态和状态空间概念的基础上，就可来建立 动力学系统的状态空间描述。从结构的角度， 一个动力学系统可用图1.2所示的方块图来 表示，其中，是表征系统行为的状态变量组，期，.，“，和儿，·，分别为系 统的输入变量组和输出变量组。 与7. 南力都件女：出部件 图1.2动力学系统结构示意图 9●