10.1多项式矩阵描述 342 10.2多项式矩阵描述的状态空间实现.，.345 10.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性和能观测性.347 10.4 传输点和解耦零点 10.5系统矩阵*.， 353 106严格系统等价 355 习题 63 第11章 线性定常反债系绕的复颜率城分析和综合 366 11.1 组合系统的能控性和能观测性 366 11.2反馈系统的定性.375 11.3 极点配置问题的状态反馈的合 379 11.4 极点配置问题的观利器一制器型补偿器的综合 387 11.5 采用输出反馈时极点配置问题的补偿器的棕合.392 11.6 采用输出反馈时解耦控制问题的补偿器的综合 ,401 11.7 采用输出反被时无静差跟腺控制问题的补偿器的综合·407 11.8线性二次型调节器问题的频城综合. 411 习题4 .417 参考文 .420 。iit
绪 论 线性系铣理论的研究对象顾名，思义，线性系统理论的研究对象为线锉系统，它是实 际系统的一类理想化了的模型，通常可以用线性的微分方程或差分方程来描述。 系统是由相互关联和相互作用的若干组成部分按一定规律组合而成的兵有特定功能 的整体。系统可其有完全不同的属性，如工程系统、生物系统、经济系统、社会系统等。但 是，在系统理论中，常常抽去具体系统的物理或社会含义而把它抽象化为一 一般意义下 的系统而加以研究，这种处理方法有助于揭示系统的一般特性。系统的概念具有相对性， 系统的每个组成部分也可以是一个系统，而系统自身又可以是一个更大系统的组成部分 系统最基本的特征是它的整休性，系统的行为和性能是由其整体所决定的，系统可以具有 其组成部分所没有的功能，有着相同组成部分但它们的关联和作用关系不同的两个系统 可现出很不相同的行为和功能。 在系统与控制理论中，我们将主婴研究动态系统，通常也称其为动力学系统。动态系 就常可用一组微分方程或差分方程来表征，并且可对系统的运动和各种性质给出严格的 和定量的数学描述。当措述动态系统的数学方程具有线性属性时，称相应的系统为线生 系统。线性系统是一类最简单且研究得最多的动态系统。线性系统的一个基本特征是满 足叠加原理，即若表系统的数学描述为L,那么对任意两个入变量“和，以及任意两 个有限常数1和1，必有 L(c+)=L()+cL() 迅是，应当指出，上述叠加原理的关系式通常只适用于有限项和，如果不附加假设就不能 推广到无穷项和。线性系统满足叠加原理这一属性，导致了其在数学处理上的简便性，使 得可以采用比较成熟的数学工具如数学变换（停里叶变换、拉普拉斯变换等）和线性代数 来研究它的运动。 严格地说，一切实际的系统都是非线性的，真正的线性系统在现实世界中是不存在 的。但是，很大一部分实际系统，它们的某些主要关系特性，在一定的范围内，可以充分精 确地用线性系统来加以近似地代表。并且，实际系统与理想化了的线性系统间的差别，对 于所研究的问题而言已经小到无关紧要的程度而可予以忽略不计。因此，从这个意义上 说，线性系统或者可线性化的系统又是大量存在的，而这正是研究线性系统的实际背景。 对于一个实际的系统是否可将其按线性系统处理，一般难以给出普遍的和绝对的判断准 则，需婴对具体系统进行具体的分析。这里，不仅需要考虑系统本身的因素，而且也餐要 考虑所研究问题方面的因素，只有从这两个方面才能确定是否可把一个实际系统看成为 线性系统
将线性系统进行更细致的分类，还可区分为线性定常系统和线性时变系统两类情况」 线性定常系统也称为线性常系数系统，其特点是描述系统状态的线性微分或差分方程中 的每一个系数都是不随时间变化的常数。如果系统的线性微分或差分方程中的系数不全 是常数，其中包含有为时间：的函数的系数，则这样的系统就为线性时变系统，通常也称 为线性变系数系统。考感到系统的运动状态的特性和描述此系统的微分方程或差分方程 的类型有着密切的关系，而不同类型的微分或差分方程在解的特性上有着重要的和实质 性的差别，因此把线性系统作上述分米是必要的和有藏义的。从实际的观点而言，线性定 常系统也只是一种实际系统的理想化模型，它是对实际系统经过近似化和工程化处理后 所导出的一类理想化系统。线性常系数系统是最易于研究的，而且为数很多的实际系统 都可在一定的范围内足够禁确地用线性塔系数系统来代表，因出它是线性系统理论中主 要的研究对象。 线性系统理论的主要任务简单地说，线性系统理论主要研究线性系统状态的运动 规律和改变这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的 确定的和定量的关系。通常，研究系统运动规律的问题称为分析问题，研究改变运动规律 的可能性和方法的问题则为综合问题。前者属于认识系统，后者则为改造系统。 不管是对系统进行分析还是综合，一个首要的前提是建立起系统的数学模型。 在 立模型时，最重要的是要确定什么是需要反陕和研究的主要系统属性，并在此基础上来定 出它的定最关系。随着所考察的问题的性质的不同，一个系统可以有不同炎型的模型，它 们代表了系统的不同方面的属性。数学模型中的基木要素是变量、参量、常量和它们之间 的关系。系统模型中的变量，包括状态变量、输入变量和输出变量，在有些情况下还需考 虑扰动变量。参量可以是系统的参数或表征系统性能的参数，前者受系统环境的影响可 产生变动，后者可陆设计要求而人为地改变其取值。常量是指系统中不陆时间改变的参 数。而变量、参量和常量的关系，需婴针对具体问题根据相应的物理原理来决定 线性 统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率城模型。时间域模型表现为微分方 程组或差分方程组，可同时适用于常系数系统和变系数系统；频率域模型表现为传递函数 和频率响应，只适用于常系数系统。对应于系统的这两种模型，发展和形成了线性系统理 论中的两类不同方法。建立系统的数学模型的基本途径有解析法和实验法，前者通过分 析系统的机制直接运用物理原理来建立表征系统动态过程的数学播述，后者则是在通过 实验取得数据和按照相应准则处理数据的基础上来导出最接近系统实际情况的简化数学 描述。建模问题是系统研究中的一项非常基本和重要的问题，它已构成系统理论中的 个独立的分支。 表征动力学过程的系统数学模型一且定出后，则就可着手对系统进行分析和综合。通 常，可把分析区分为定量分析和定性分析两类情况。在定量分析中，主要关心的是分析系 统相对于某个入信号的响应和性能，这种分析涉及到紫多和复杂的计算，常常要借助 于数字的或模拟的计算机来完成。在定性分析中，着重于分析诸如稳定性、能控性、能溪 测性等系统的基本结构特性，这种分析对于系统的综合具有重要的指导性，因此其在线性 系统理论中占据有重要的位置。 当系统的性能不够令人满意而需要加以改善或实现最优 化时，就需要同时按照系统的状况和期望的性能要求来设计系统的控制器，这类问题就是 。2
综合，它是建立在分析基础上的。通常，控制器的最基本的形式是反馈控制，在某些情况 下还须同时引入附加的补偿。应当指出，由于系统的综合是相对于系统模型进行的，而 所导出的控制器将施加和作用于实际系统中，因此必然会产生一系列实际问题，如反馈的 构成、模型误差的影响、参数摄动的影响、扰动影响的抑制和消除等。不解决这些实际问 题，综合中提出的期望性能指标仍然是没有保证的。对此，除了通过系统的调试和采取相 应的技术措海外，也有赖于理论上的研究。因此，解决上述提到的这些实际问题，使得所 综合的系统在实际运行中能达到期翅的性能，同样是系统理论中要研究的奥题。 线性暴统理论的发展过程本世纪50年代中期，经典的线性系统理论已经发展成熟 和完备，并在不少工程技术领域中得到了成功的应用。经典线性系统理论的数学基础是 兽拉斯杏换，系统的其本数学檬刑为传端函数。士要的分折和绘合方法是频率响应法 经典频率法对于单输入~单输出线性定常系统的分析和综合是很有成效的。但是，经典 线性系统理论也具有明显的局限性，突出的是难于有效地处理多粮入一多输出系统，并且 难以揭示系统的更深刻的特性。 在50年代莲勃兴起的航天技术的推动下，线性系统理论在1960年前后开始了从经 典阶段到现代阶段的过渡，共重要标志之一是卡尔曼(R.E.Kalmar)系统地把状态空 间法引入到系统与控制理论中来。状态空间法的一个基本特点是，采用状态空间这种内 部描述取代先前的传递函数那种外部输入一输出描述，并对系统的分析和综合直接在时 间城内来进行。状态空间法可同时适用于单输人-单输出系统和多输入一多输出系统，线 性定常系统和线性时变系统，大大扩充了所能处理问题的领域。在状态空间法的基础 上，卡尔曼进一步提出了能控性和能观测性这两个表征系统结构特性的重要概念，已经证 明这是线性系统理论中的两个最基本的概念。能控性和能观测性的引人，导致了线性系 统的分析和综合在指导原则上的一种根本性的变化 ,它巢中装现为用系统的“内部研究” 代替了传统的“外部研究”，并使分析和综合过程建立在严格的理论基础上。建立在状态 空间法基础上的线性系统的分析和综合方法通常称为现代线性系统理论。 自60年代中期以来，线性系统理论不论是研究内容还是研究方法上，又有了一系列 新的发展。出现了着重从几何方法角度来研究线性系统的结构和特性的线性系统的几何 理论，出现了以抽象代数为工具的线性系统的代数理论，也出现了在推广经典频率法基础 上发展起来的多变量频域理论。 与此同时，随着计算机技术的发展和普及，线性系统分析 和综合中的计算问题（特别是病态问题和数值稳定性问题），以及利用计算机对线性系统 进行轴助分析和辅助设计的问题，也都得到了广泛和充分的研究。 线性系统理论是系统与控制理论中最为成熟和最为基础的 个组成分支。系统与控 制理论的其他分支，如最优控制理论、最优估计理论、陆机控制理论、非线性系统理论、大 系统理论等，都不同程度地受到线性系统理论的概念、方法和结果的影响和准动。 线性系统理论的主要半派陆着所采用的数学工具和所采用的系统描述的不同，线 性系统理论中已形成了四个平行的分支，它们反映了线性系统理论中的一些主要学派。 ()线性系统的状态空间法状态空间法是线性系统理论中一个最或要和影响最广 的分支。在状态空间法中，用以表征系统动力学特性的数学模型，是反映输人变量 状 态变量和翰出变量间关系的一对向量方程，称为状态方程和输出方程。状态空间法是 3
种时间域方法，其主要的数学基础是线性代数，在系统的分析和综合中所涉及的计算主婴 为矩阵运算和矩阵变换，并且这类计算很适宜在计算机上来进行。不管是系统的分析还 是系统的综合，状态空间法巳发展了一整套完整的和成熟的理论和方法。 线性系绕理论 的其他分支，也都是在状态空间法的影响和推动下，形成和发展起来的。 (2)钱性幕统的几何理论几何理论的特点是把对线性系统的研究化为状态空间中 的几何问题，主要的数学工具是几何形式的线性代数，基本思想是把能控性和能观测性等 系统结构特性表述为不同的状态子空间的几何性质。在几何理论中，具有关键意义的新 概念是(A,B)不变子空间和(A,B)能控子空间，它们在用几何方法解决主要的综合问 题中起了决定性的作用。几何方法的优点是简捷明了，避免了状态空间法中的大量的矩 阵演算，而在 旦需要计算时，几何方法的结果都能比较容易地化成相应的矩阵运算。但 是，对于工程背景的系统理论的学习者和研究者，对线性系统的几何理论不免会感到比较 抽象，因而需要具备一定的数学素养。几何理论是由加拿大著名学者旺纳姆(W.MWo m)在70年代初创立的，线性系统的几何理论的代表作是由旺纳姆著述的《线性多变 量控制：一种几何方法》”。 (3)线性暴妩的代数理论线性系统的代数理论是用抽象代数工具研究线性系统的 一种方法。代数理论的主要特点，是把系统的各组变量间关系看作为其些代数结构之闻 的映射关系，从而可以把对线性系统的描述和分折实现完全的形式化和抽象化，变成为纯 粹的代数问题。代数理论的出现起源于卡尔曼60年代未运用模论工具对城上的线性系 统的研究。随后在他的模论方法的影响下，在比域更弱和更一般的代数系上，如环、群、 代数、集合上，相继建立了线性系统代数理论。在这些研究中，找到了线性系统的不可于 状态空间描述中的某些属性，并且试图把系统理论和计算机科学结合起来建立起统一的 理论。 (4)多变量频域方法这种方法的实质，是以状态空间法为基础，采用颜率域的系统 描述和频率域的计算方法，来分析和综合线性定常系统。在多变量频城方法中，平行和独 立地发展了两类综合方法。 一类是率城设计方法，它的特点是把多输入多输出系统 化为一系列单输入一单编出系统来处理，并把经典频率法的许多行之有效的设计技术和 方法推广到多变量系统中来 由此导出的棕合理论和方法将可以通过计算机辅助设计而 方便地用于系统设计。这类综合技术主要是由罗森布罗克(H.H.Rosenbrock) 麦克 法伦(A.G.J.MacFarlane)等英国学者提出的，习惯地称为英国学派。另一类是多项 式矩阵设计方法，它的特点是采用传递函数矩阵的矩阵分式描述作为系统的数学模型，并 在多项式矩阵计算和变换的基础上，建立了一整套分析和综合线性定常系统的理论和方 法。多项式矩阵设计方法是由罗森布罗克、沃罗维奇(w.A.Wolovich)等在70年代 初提出的，并在随后的发展中得到不断完备和广泛应用。和状态空间法相比，多变量频域 方法具有物理直观性强、便于设计调整等优点。 本书的范图 如前所述，线性系统理论的内容丰富，材料众多，方法多样，难以在一门 课程或 本教材中作全面的介绍。而且，不同的分支体系，船要不同的数学基础知识，这 )W,M旺纳，线性多变控制 一种几何方法*景尹、王平译，科学出版社，198