2.复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系:x=rcos6,y=rSin6 复数的三角表示式:=x+0y=rosO+isnO)=|(cos+isne) z=r(cos 0)=r[cos(-0)+isin(0) 3.复数的指数表示法 利用欧拉公式:e=coO+isin 复数的指数表示式:z=e=re",=|e° x=coso, arsine cos0+isin e z=x+iy z=r(cos 0+isin 0) ie 2三7 x2+220=arctan 注意:复数的三角表示式不是唯一的,因为辐角有无 穷多种选择,如果有两个三角表示式相等: r(coS+isin)=2(co2+isnB2),则可以推出: 片=,=O,+2k丌,其中k为整数 2021/224
2021/2/24 14 2．复数的三角表示法 利用直角坐标与极坐标的关系： x r y r = = cos , sin 复数的三角表示式： z x iy r i z i = + = + = + (cos sin ) (cos sin ) z r i r i = − = − + − (cos sin ) [cos( ) sin( )] 3．复数的指数表示法 利用欧拉公式： cos sin i e i = + 复数的指数表示式： , i i z z e re = = i z z e − = 注意：复数的三角表示式不是唯一的，因为辐角有无 穷多种选择，如果有两个三角表示式相等： 1 1 1 2 2 2 r i r i (cos sin ) (cos sin ), + = + 则可以推出： 1 2 r r = , 1 2 = + 2 , k 其中 为整数 k 2 2 cos , sin , arctan (cos sin ) x r y r y r x y x z x iy z r i = = = + = = + = + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ cos sin i e i i z re ⎯⎯⎯⎯⎯→ = + ⎯⎯⎯⎯⎯ =
例1.将z=12-2化为三角表示式和指数表示式 解:||=r=4,因为辐角O在第三象限,则 tan 0= y=2,b∈(,n)→tanb=tan(0-m)=-2 -∈(0,丌) →6= arctan 丌= arctan 于是z=4co(-)+isin(-)n)=4e 主幅角值的确定: arg tan x>0,y≥0 g 当x=0,y≠0 z≠0 arctan±x,当x<0,y.0 兀,当x<0,y=0 2021/224
2021/2/24 15 • 例1．将 化为三角表示式和指数表示式. z i = − − 12 2 解： z r = = 4, 因为辐角 在第三象限，则 2 3 5 arctan arctan 12 3 6 6 − = − = − = − = − − 2 3 tan , ( , ), 12 2 y x − = = − 2 1 tan tan( ) , (0, ), 12 2 − = − = − − 于是 5 5 4[cos( ) sin( )] 6 6 z i = − + − 5 6 4 i e − = 主幅角值的确定： arg tan , 0, 0 arg , 0, 2 0 arctan , 0, 0 , 0, 0 y x y x z x y z y x y x x y = = = 当 当 0 > 当 < 当
练习将=-3+2i化为三角表示式和指数表示式 解:模r=-3+2i}=√3.主辐角= arctan-+丌=丌-M (丌- arc tan=)i 113cos(r-arctan )+isin(T-arctan = ) 例2.将直线方程x+3y=2化为复数表示式 解:由于z+z=2x,z-z=2iy 可得:x=(x+z),y (二-二) 2 代入x+3y=2得:(二+2)+1(二-)=2 2i 化简得:(z+z)+3(z-z)=4i 即(3+1)z+(-3+i)2=4为复数形式的直线方程 )复数形式的直线方程为/(=)=0 2021/224
2021/2/24 16 练习 将 化为三角表示式和指数表示式. z i = − +3 2 r i = − + = | 3 2 | 13, 2 2 arctan arctan 3 3 = + = − − 2 2 13[cos( arctan ) sin( arctan )] 3 3 z i = − + − 2 ( tan ) 3 4 arc i e − = 解：模 主辐角 • 例2．将直线方程 化为复数表示式. x y + = 3 2 解： 由于z z x + = 2 , z z iy − = 2 1 ( ), 2 可得：x z z = + 1 ( ) 2 y z z i = − 代入 得： x y + = 3 2 1 3 ( ) ( ) 2 2 2 z z z z i + + − = 化简得：i z z z z i ( ) 3( ) 4 + + − = 即：(3 ) ( 3 ) 4 + + − + = i z i z i 为复数形式的直线方程 复数形式的直线方程为 f z( ) 0 =
定义:复数形式的参数方程 若平面上曲线的参数方程为:{-0),∈D y=y(1) 则定义z=x(1)+i(1),t∈D为复数形式的参数方程 例3.通过两点=x+m与2=x2+的直线用复数的参数方程来表示 解:通过两点(x,y)与(x2y2)的直线方程为 y=yI y2-y1x2-x1 参数方程为 x=x1+1(x2-x) y=y1+(y2-y) (-∞0<t+∞) 由参数式得复数形式参数方程为z=x1+1(2-=1),(-∞<t+∞) 所以连接1=x+i与2=x2+2的直线段的参数方程为 z=x1+1(=2-=1),0≤t≤1 记住:过:与2两点的直线段的参数方程为:=1+(二2-=1 2021/224
2021/2/24 17 • 例3． 1 1 1 2 2 2 通过两点 与 的直线用复数的参数方程来表示 z x iy z x iy = + = + 解： 1 1 2 2 通过两点 与 的直线方程为 ( , ) ( , ) x y x y 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x − − = − − 参数方程为 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) x x t x x t y y t y y = + − − + = + − 由参数式得复数形式参数方程为 1 2 1 z z t z z = + − ( ), ( ) − + t ( ) , ( ) x x t t D y y t = = 若平面上曲线的参数方程为： 则定义 z x t iy t t D = + ( ) ( ), 为复数形式的参数方程. 定义：复数形式的参数方程 1 1 1 2 2 2 所以连接 与 的直线段的参数方程为: z x iy z x iy = + = + 1 2 1 z z t z z t = + − ( ),0 1 1 2 1 2 1 记住：过 与 两点的直线段的参数方程为: z z z z z z t = + − ( )
例4.求下列方程所表示的曲线 (1)+i=2,(2)2-2=+2,(3)lm(+2)=4 解:1)2+4=2表示与点一距离为的点的轨迹,即圆心为-,半径为的圆 化为直角坐标方程:将=x+代入+=2中,得: (x+0)+1=2,即√x2+(y+1)2=2 化简得:x2+(y+1)2=4 z+il=2. 2)2-21=+2到与-2距离相等点的轨迹 即表示曲线是连接点2i和-2的直段的垂直平分线, 化为直角坐标方程为 (3)m(i+)=4.设=x+那么+E=x+(1-y) 代入得-y=4,即:y=-3 2021/224
2021/2/24 18 o x y • 例4．求下列方程所表示的曲线 (1) 2, z i + = (2) 2 2 , z i z − = + (3) Im( ) 4. i z + = 解： （） 表示与点 距离为 的点的轨迹， 1 2 2 z i i + = − 即圆心为 ，半径为 的圆 −i 2 −i i z i + = 2, 化为直角坐标方程：将 代入 中，得： z x iy z i = + + = 2 ( ) 2 x iy i + + = ， 2 2 即： ， x y + + = ( 1) 2 2 2 化简得：x y + + = ( 1) 4. (2) 2 2 2 2 z i z i − = + − 到 与 距离相等点的轨迹 即表示曲线是连接点 和 的直段的垂直平分线， 2 2 i − 化为直角坐标方程为：y x = − (3) Im( ) 4. i z + = 设 ， z x iy = + 那么i z x y i + = + − (1 ) 代入得： ， 1 4 − =y 即：y = −3