离散模型之一 一差分方程建模 §1市场经济中的蛛网模型 §2离散形式的阻滞增长模型 §3按年龄分组的种群增长模型 §4减肥计划节食与运动 §1市场经济中的蛛网模型 供大于求价格下降减少产量 现 象 ↓ 增加产量←价格上涨供不应求 描述商品数量与价格的变化规律 问 题商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定 1
蛛网模型」 x第时段商品数量:yx第A时段商品价格个 消费者的需求关系口需求函数y=f(x)减函数 xu=h(x) 生产者的供应关系口供应函数3 增函数 y=g(xkD) ∫与g的交点PxmM)~平衡点 xxk+1xk+2…=x0yk+pyk+2,…=yo 蛛网模型y=/()x1=h0) 设偏离×x→H→x=→2→x→…少个 x→xn,y→P1→P2→>P3→…→>P P是稳定平衡点 P是不稳定平衡点 P AEl K<K PI pk. KskI
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蛛网模型」 方程模型在P点附近用直线近似曲线个 y=f(x) -a(x (a>0) x1=h(y2)x1-1=A-1)(B>0) x-xo=-aB(x-x)xu-x=aB)"(x-xo) aB<1a(=K)<(=K)→入P稳定 aB>1a(=K)>a(=K)=x→P不稳定 蛛网模型 结果解释 考察a,B的含义 y-y=(x-x)a~商品数量减少1单位价格上涨幅度 kxx=BU-1),B价格上涨1单位(下时段)供应的增量 Q~消费者对需求的敏感程度小有利于经济稳定 β~生产者对价格的敏感程度B小有利于经济稳定 →a/B<1经济稳定
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蛛网模 经济不稳定时政府的干预办法 1.使C尽量小,如Q=0 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 0 2.使B尽量小,如B=0 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变 模型的推广生产者管理水平捉高」 假定生产者根据当前时段和前 y+y-1 时段的价格决定下一时段的产量 设供应函数为x-xn=B(+y)/2-yn 需求函数不变y-y=-a(x-x0) 口2x2+a众+a=2(1+aB)x,k=1, 阶线性常系数差分方程 x为平衡点研究平衡点稳定,即k耳x的条件
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模型的推广 2x2+ax1+ax,=2(1+a0)xn的平衡点x0的稳定性 方程通解x1=c1x+c22c1,c2由初始条件确定, λ12是特征根,即方程22+aB+aB=0的根 平衡点稳定,即k为五的条件:。|<1 A a士、-80 平衡点稳定条aB<2 比原来的条件aB<1放宽了 §2离散形式的阻滞增长模型 连续形式的阻滞增长模型( Logistic模型) ()=r(1-x)xO)~某种群时刻的数量(人口) t-)∞,x(t)>N,x=N是稳定平衡点(与r大小无关) 离散形式y1-y=n;(1-2),k=12, y~某种群第k代的数量(人口) 若y=N,则v+1yx+2…=N,即y=N是平衡点 讨论平衡点的稳定性,即k>∞o,ykN?
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