第六章傅里叶变换 2021/224
2021/2/24 4 第六章 傅里叶变换
第六章傅里叶变换 >6.1傅里叶变换的概念 >62单位脉冲函数 >6.3傅里叶变换性质 本章小结 思考题 2021/224
2021/2/24 5 第六章 傅里叶变换 ➢6.1 傅里叶变换的概念 ➢6.2 单位脉冲函数 ➢6.3 傅里叶变换性质 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节傅立叶变换的概念 一、周期函数展为傅立叶级数的三角式 TT 设f()是以T为周期的函数,若在 上满足狄利克雷条件: (1)连续或只有有限个第一类间断点;(2)至多只有有限个极值点; 则f(1)在区T, 22可展开为傅立叶级数 三角形 式 l当为函数的连续点时/0=+a+bnm0-(0 2丌 其中O=T T f(t)dt TT r()cos notdt 2 fr(t)@ tdt, n=1, 2, 2.当为函数f1(t)的间断点时,(1)式左端为[f(+0)+f(t-0) 2021/224
2021/2/24 6 第一节 傅立叶变换的概念 ➢ 一、周期函数展为傅立叶级数的三角式 ( ) T 设 是以 为周期的函数， f t T [ , ] 2 2 T T 若在 上满足狄利克雷条件： − (1)连续或只有有限个第一类间断点；(2)至多只有有限个极值点； ( ) [ , ] . 2 2 T T T 则 在区间 上可展开为傅立叶级数 f t − ( ) T 1.当 为函数 的连续点时， t f t 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ), (1) 2 T n n n a f t a n t b n t = = + + 2 0 0 2 2 2 ( ) . T T T a f t dt T T − = = 其中 ， 2 0 2 2 ( ) cos T a f t n tdt n T T T − = 2 0 2 2 ( )sin , 1, 2, . T b f t n tdt n n T T T − = = 1 ( ) [ ( 0) ( 0)]. 2 T T T 2.当 为函数 的间断点时，(1)式左端为 t f t f t f t + + − 三角形 式
为应用方便,将傅立叶级数的三角形式转化为复指数形式: 利用欧拉公式, cos n Ot=(em+em0), sin t=-( e n)=j(eno' -e noo) 于是(式可化为: fT(0)=0+>(a,[(emao+e mb)1-bm nlo(e noot +∑ e.not a e Snoot f(t)di 2 2021/224
2021/2/24 7 为应用方便，将傅立叶级数的三角形式转化为复指数形式： 利用欧拉公式， 0 0 0 1 cos ( ), 2 jn t jn t n t e e − = +0 0 0 0 0 1 1 sin ( ) ( ) 2 2 jn t jn t jn t jn t n t e e j e e j − − = − = − − 于是 式可化为： (1) 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ( [ ( )] [ ( )] 2 2 2 jn t jn t jn t jn t T n n n a j f t a e e b e e − − = = + + − − 0 0 0 1 ( ). 2 2 2 n n n n jn t jn t n a a jb a jb e e − = − + = + + 0 0 2 a 令c = 2 2 1 ( ) , T T T f t dt T − =
T T 令 C- fr(t)cos nootdt-j f(t)sin no,tdi f(t)[cosnoot-jsin not ]at T 7」2()e-mo,、m=123…) 同理: a+jb =2f()em,(n=123… 2 合成一个式子得:cn=「f1(mwah,(m=1,+2,±3…) T 2 no f(t)e n dt 指数形、 这样试可以写成:0)=0++c]。式 即:f()=∑cem,(n=0,±1±2,±3…)…(2) n=-00 上式称为傅氏级数的复指数形式 2021/224
2021/2/24 8 2 0 0 2 1 ( )[cos sin ] T T T f t n t j n t dt T − = − 2 n n n a jb c − 令 = 2 2 0 0 2 2 1 [ ( ) cos ( )sin ] T T T T T T f t n tdt j f t n tdt T − − = − 2 0 2 1 ( ) , ( 1, 2,3, ) T jn t T T f t e dt n T − − = = 2 0 2 1 ( ) ( 1, 2,3, ) 2 T n n jn t n T T a jb c f t e dt n T − − + = = = 同理： ， ， 合成一个式子得： 2 0 2 1 ( ) , ( 1, 2, 3, ) T jn t n T T c f t e dt n T − − = = 0 2 2 1 ( ) . n n n T j t n T T c f t e dt T = − − === 这样 式可以写成： (1) 0 1 ( ) [ ] n n j t j t T n n n f t c c e c e − − = = + + ( ) , ( 0, 1, 2, 3, ) (2) n j t T n n f t c e n + =− 即： = = 上式称为傅氏级数的复指数形式． 指数形 式