第二章解析函数 ■内容提要:解析函数是复变函数研究的主 要对象.在理论和实际问题中有着广泛的 应用,本章在介绍复变函数导数的概念和 求导法则的基础上,着重讲解析函数的概 念,判别方法及重要性质 2021/224
2021/2/24 4 第二章 解析函数 ▪ 内容提要：解析函数是复变函数研究的主 要对象．在理论和实际问题中有着广泛的 应用，本章在介绍复变函数导数的概念和 求导法则的基础上，着重讲解析函数的概 念，判别方法及重要性质．
第二章解析函数 >2.1解析函数的概念 >22解析函数和调和函数的关系 >23初等函数 本章小结 今思考题 2021/224
2021/2/24 5 第二章 解析函数 ➢2.1 解析函数的概念 ➢2.2 解析函数和调和函数的关系 ➢2.3 初等函数 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节解析函数的概念 一、复变函数的导数与微分 导数定义 定义1设函数〃=f(-)在点=的某邻域内有定义,二+△是该邻域内任意一点, 函数的增量Aw=f(=a+△)-f(=)如果极限m3+△)-f( 0)存在 △z→>0 △z 则称函数(-)在二处可导,此极限值称为f()在处的导数, 即:f(=0) lin f(z+△)-f(=0) az △z→>0 说明:(1)E-δ语言描述:VE>0,36(a)>0,当0<<o时, 都有 f(二a+△)-f(=0) f(=0)<E 2定义中+①(即→0的方式是任意的,定义中极限值存在的要球 与z+Az→z0的方式无关; (3)若()在D内处处可导,就说f(=)在区域D内可导 2021/224
2021/2/24 6 第一节 解析函数的概念 ➢ 一、复变函数的导数与微分 1．导数定义 0 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义， 1. ( ) w f z z = 0 z z + 是该邻域内任意一点， 0 0 函数的增量 ， = + − w f z z f z ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) lim z f z z f z z → + − 如果极限 存在， 0 则称函数 在 处可导， f z z ( ) 0 此极限值称为 在 处的导数， f z z ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) | lim , z z z dw f z z f z f z dz z = → + − = = 即： 说明： (1) 0, ( ) 0, 0 − 语言描述： 当 时， z (3)若 在 内处处可导，就说 在区域 内可导. f z D f z D ( ) ( ) 0 0 (2)定义中 即 的方式是任意的，定义中极限值存在的要求 z z z z + → → ( 0) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) f z z f z f z z + − − 都有0 0 与 的方式无关； z z z + →
例1.求函数(2)==的导数 解:i f(二+△)-f( =hn(z+△ =lim(2z+△)=2z △z △z A→0 所以f(z)=2 例2.函数f()=z=x-i是否可导? 解 f(=+△=)-f()z+△-zz+A z△z△x △z L△x+i (1)若z+A沿平行于实轴方向趋向于z,即△=0,而Ax→00 则有lim f(z+△=)-f(=) △x-i△ Im △z→>0 △x→0,Ay=0△x+△y (2)若2+沿平行于虚轴方向趋向于2,即Ax=0,而Ay>0, 则有limf(2+A)-f()=1m △x-i△y △→ Ay→0,Ax=0△x+iv 故f(二)=z=x-iy不可导 2021/224
2021/2/24 7 • 例 1 ． 2 求函数 的导数 f z z ( ) . = 解： 2 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim lim (2 ) 2 z z z f z z f z z z z z z z z z → → → + − + − = = + = 所以f z z ( ) 2 . = • 例 2 ．函数 是否可导？ f z z x iy ( ) = = − f z z f z z z z z z z z ( ) ( ) z z z z + − + − + − === 解： x i y x i y − = + （）若 沿平行于实轴方向趋向于 ， 1 z z z + 即 ，而 ， = → y x 0 0 0 0, 0 ( ) ( ) lim lim 1 z x y f z z f z x i y → → = z x i y + − − = = + 则有 （ ）若 沿平行于虚轴方向趋向于 ， 2 z z z + 即 ，而 ， = → x y 0 0 0 0, 0 ( ) ( ) lim lim 1 z y x f z z f z x i y → → = z x i y + − − = = − + 则有 故 不可导. f z z x iy ( ) = = −
2.可导与连续关系 从例2从可以看出:函数f(x)=z=x-iy处处连续,但处处不可导,反之可导必连续 结论:函数=()在=可导,则在=处必连续,反之不成立 证明:由导数的定义可知f(a)=limf(+△)-f(在分 △z→)0 △z vE>036(2)>0当0<14<时,都有 f(=0+△)f(0) <8 令p(A2)-f(=+△=)-f(=-f(=) 那么lmp(△z)=0 A一 f(=0+△)-f(=0)=f(=0)A+p(△)A 所以imf(=0+△)=f(二0) 即函数f(=)在点二处连续 2021/224
2021/2/24 8 2．可导与连续关系 从例2从可以看出： 函数 处处连续，但处处不可导，反之可导必连续. f z z x iy ( ) = = − 0 0 结论： 函数 在 可导，则在 处必连续，反之不成立 w f z z z = ( ) . 证明： 0 0 0 ( ) ( ) 0, ( ) 0, 0 ( ) f z z f z z f z z + − − 当 时，都有 由导数的定义可知 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim z f z z f z f z z → + − = 存在 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) f z z f z z f z z + − = − 令 0 lim ( ) 0 z z → 那么 = 0 0 0 + − = + f z z f z f z z z z ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 lim ( ) ( ) z f z z f z → 所以 + = 0 即函数 在点 处连续 f z z ( )