例1.计算复数32 解:法一(商的公式) X,x2 t y,y, 2-xy23.2+(-2)3,:2(-2)-3.3 十l x2+y2 x2+y2 22+3 22+3 法二(共轭性质) ¨=2_(3-2(2-3)(6-6)+(-4-9 (2+31)(2-3i) 22+3 应用共扼性质来计算显得简单,在后面计算 中要灵活运用共轭 2021/224
2021/2/24 9 • 例1．计算复数 3 2 2 3 i i − + 解： 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) z x x y y x y x y i z x y x y + − = + + + 2 2 2 2 3 2 ( 2) 3 2 ( 2) 3 3 2 3 2 3 i i + − − − = + = − + + 法一（商的公式） 法二（共轭性质） ___ ___ 1 1 2 1 2 ___ 2 2 2 2 2 | | z z z z z z z z z = = 2 2 (3 2 )(2 3 ) (6 6) ( 4 9) (2 3 )(2 3 ) 2 3 i i i i i i − − − + − − = = = − + − + 应用共扼性质来计算显得简单，在后面计算 中要灵活运用共轭
例2.设(x+y+2)+(x2+y)2=0.,求实数x,y 解:由题意得 +y+2=0 y=0 x三 x=2 解得: 或 例3.设复数z 求Re(=),Im(z)与二2 l 解:因为z= 31(+)3 )(-)1+1)22如 所以Rez=,Imz=-,zz 5 2021/224
2021/2/24 10 • 例2． 2 设（ 求实数 x y i x y x y + + + + = 2) ( ) 0, , . 解： 2 2 0 , 0 x y x y + + = + = 由题意得 1 2 . 1 4 x x y y = − = = − = − 解得： 或 • 例3． 1 3 , Re( ), Im( ) . 1 i z z z zz i i = − − − 设复数 求 与 解： 1 3 1 i z i i = − − − 因为 3 (1 ) 3 1 ( ) (1 )(1 ) 2 2 i i i i i i i i + = − = − − − + 3 1 3 1 5 2 2 Re , Im , ( ) ( ) 2 2 2 2 2 所以 z z z z = = − = + − =
例4.设=x+m,2=x2+y2为两个任意复数 证明:x12+12=2Re=12 证明:=2+212=(x+Xx2-)+(x-Xx+) (xx2+y1y2)+1(x21-x1y2)+(x1x2+y1y2)-(x21-x1y2) =2(x1x2+yy2)=2Re122 证法二:12+12=x12+12 2Re(二1=2)=2Re(=1=2) 2021/224
2021/2/24 11 • 例4． 1 1 1 2 2 2 设 为两个任意复数， z x iy z x iy = + = + , 证明： 1 2 1 2 1 2 证明：z z z z z z + = 2Re 1 2 1 2 1 1 2 3 1 1 2 2 z z z z x iy x iy x iy x iy + = + − + − + ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 = + + − + + − − ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y i x y x y x x y y i x y x y 2 1 2 1 2 1 = + = 2( ) 2Re x x y y z z 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z z z + = + 1 2 1 2 = = 2Re( ) 2Re( ) z z z z 证法二：
第二节复数的表示法 一、复平面 定义:由实轴(x轴),虚轴(1轴)按直角坐标系构成的平面, 称为复平面(或z平面) 在复平面内任一点M(x,y)与复数=x+是一一对应 复数的模:|=√x2+y2 虚轴 复数的幅角:θ=Arg X+Iy 主幅角:argz∈(-z,z] Argz=arg z+2k (k=0,tl,+2 实轴 即:一复数的辐角Argz是多值的 复平面 2021/224
2021/2/24 12 第二节 复数的表示法 ➢一、复平面 定义： 由实轴 轴，虚轴 轴 按直角坐标系构成的平面， ( ) ( ) x y 称为复平面（或z平面） o 实轴 虚轴 复平面 在复平面内任一点 与复数 是一一对应 M x y z x iy ( , ) = + x iy + y x 复数的模： 2 2 z x y r = + = z 复数的幅角： = Argz 主幅角： argz −( , ] Argz z k k = + = arg 2 ( 0, 1, 2, ) 即：一复数的辐角Argz是多值的
复数、复平面上点、向 >二、复数的表示法 虚轴 量之间一一对应 itil M 1.复数的向量表示法 OM=2=x+iy 实轴 因此|=r=√x+y2,tan(4g=) 复平面 显然有不等式:s≤x+1y12|x-y:==1+=2 2-表示与的距离 共轭复数之间的几何关系: z=x+iy与z=x-iy,关于x轴对称 且有:1=,arg=-aB 7 2021/224
2021/2/24 13 ➢二、复数的表示法 1．复数的向量表示法 OM z x iy = = + 因此 2 2 z r x y = = + , tan( ) y Argz x = 显然有不等式： x z y z z x y z x y + − , , , ; 2 2 zz z z = = z o 实轴 虚轴 复平面 x iy + x y M 2 1 1 2 z z z z − 表示 与 的距离 1 z 2 z 复数、复平面上点、向 量之间一一对应 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z z z z z + + − − , 共轭复数之间的几何关系： z x iy z x iy x = + = − 与 ，关于 轴对称 1 z x y o 且有：z z z z = = − , arg arg