第七章拉普拉斯变换 2021/224
2021/2/24 4 第七章 拉普拉斯变换
第七章拉普拉斯变换 7.1拉普拉斯变换的概念 >7.2拉氏变换的性质 >7.3拉普拉斯逆变换 >7.4拉氏变换的应用及综合举例 本章小结 ☆思考题 2021/224
2021/2/24 5 第七章 拉普拉斯变换 ➢7.1 拉普拉斯变换的概念 ➢7.2 拉氏变换的性质 ➢7.3 拉普拉斯逆变换 ➢7.4 拉氏变换的应用及综合举例 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节拉普拉斯变换的概念 1.拉普拉斯变换的定义 + 定义:设函数()当>O时有定义,而积分f()e"db,(s为一个复参量) 在某一域内收敛,则称F()=f(edt为函数()的拉普拉斯变换式 记为:F(s)=Lf()] F(s)称为函数f(t)的拉氏变换,f(x)称为函数F()拉氏逆变换, 记为:f(1)=L[F() 函数f(t)t≥0舶拉氏变换就是f(t)u(t)e,(B>0)舶傅氏变换 2021/224
2021/2/24 6 第一节 拉普拉斯变换的概念 1．拉普拉斯变换的定义 0 1 ( ) 0 ( ) st f t t f t e dt s + − 定义 ：设函数 当 时有定义，而积分 ，（ 为一个复参量） 在 某一域内收敛， s 0 ( ) ( ) ( ) st F s f t e dt f t + − = 则称 为函数 的拉普拉斯变换式， 记为：F s L f t ( ) [ ( )]. = F s f t ( ) ( ) 称为函数 的拉氏变换，f t F s ( ) ( ) 称为函数 的拉氏逆变换， 1 f t L F t ( ) [ ( )]. − 记为： = ( ) ( 0) ( ) ( ) ( 0) t f t t f t u t e − 函数 ， 的拉氏变换就是 ， 的傅氏变换.
t>0 例1.求单位阶跃函数() 0,t<0 符号函数sgnt=10,1t=0 l,t<0 f(t)=l的拉氏变换 解:()u()=」「 1/s的拉氏逆 s+∞ e 0 ,Re(s)>0 变换为哪 个?? 即:L)=1,R(s)>0 (2)Ln]=「(snD)e -st dt= o e-dt e Re(s)>o S 即: LIgnt]=-,Re(S)>0; (3-e"b=-e"|"=,Re(s)> 即:L[1]=-,Re(s)>0 2021/224
2021/2/24 7 • 例1． 1, 0 0, 0 ( ) sgn 0, | | 0 1, 0 1, 0 t t u t t t t t = = = − 求单位阶跃函数 ，符号函数 ， f t( ) 1= 的拉氏变换. 解： 0 (1) [ ( )] st L u t e dt + − = Re( ) 0 s 0 1 1 , st e s s − + = − = 1 L u t s [ ( )] ,Re( ) 0 s 即： ； = 0 0 0 1 1 (2) [sgn ] (sgn ) , st st st L t t e dt e dt e s s + + − − − + = = = − = Re( ) 0 s 1 L t s [sgn ] ,Re( ) 0 s 即： ； = 0 0 1 1 (3) [1] , st st L e dt e s s + − − + = = − = Re( ) 0 s 1 L s [1] ,Re( ) 0. s 即： = 1/s的拉氏逆 变换为哪 个？？？
一般规定:在拉氏变换中f(t)均理解为:f(t)=0,t<0. 即写下f()=sin埘时,理解为f(t)=u()sint,象函数F(s)=-,Re(s)>0 的象原函数可写为f(2)=1,即:L[=1 S 例2.求指数函数()=的拉氏变换(k为实数) 解:LO)=e"e"d=Je e k k R(S-k)>0 即:e]= (Re(s)>k) k 由上式可得: k (Re(s)>-k), L[eJor S-(Re(s)>0) 2021/224
2021/2/24 8 • 例2． ( ) . kt 求指数函数 的拉氏变换（ 为实数） f t e k = 解： ( ) 0 0 [ ( )] kt st s k t L f t e e dt e dt + + − − − = = R s k ( ) 0 − ( ) 0 1 1 , s k e s k s k − − + = − = − − 1 [ ] , (Re( ) ). kt L e s k s k = − 即： 1 [ ] , (Re( ) ), kt L e s k s k − = − + 1 [ ] , (Re( ) 0). j t L e s s j = − 由上式可得： 一般规定：在拉氏变换中 均理解为： ， f t f t t ( ) ( ) 0 0. = 1 1 f t L ( ) 1, [ ] 1. s − 的象原函数可写为 即： = = 1 f t t f t u t t F s s ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) Re( ) 0 s 即写下 时，理解为 ，象函数 ， = = =