第五章留数及其应用 本章中心问题是留数定理,前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况,并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义,它是复积分与复级数理论相结合的产物玩 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类 2021/224
2021/2/24 4 第五章 留数及其应用 ▪ 本章中心问题是留数定理，前面讲的柯西定 理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，并 且留数定理在作理论探讨与实际应用中都具有重 要意义，它是复积分与复级数理论相结合的产物， 为此先对解析函数的孤立奇点进行分类
第五章留数及其应用 >51孤立奇点 >52留数 >53留数在定积分计算中的应用 本章小结 ☆思考题 2021/224
2021/2/24 5 第五章 留数及其应用 ➢5.1 孤立奇点 ➢5.2 留数 ➢5.3 留数在定积分计算中的应用 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节孤立奇点 一、奇点的分类 定义:若函数f()在处不解析,但在的某一去心邻域0<-<0处处解析, 则称=0为函数f()的孤立奇点 如:==0是函数()=的孤立奇点,也是函数()=e的孤立奇点 如=0是函数f()=-,的一个奇点 sIn 除此之外, 1(2=12…)也是它的一个奇点, 当n的绝对值逐渐增大时,亠可任意接近z=0, n元 即在=0不论怎样小的去心邻域,总有函数f(=)奇点存在 所以=0不是函数f(=)的孤立奇点 2021/224
2021/2/24 6 第一节 孤立奇点 ➢ 一、奇点的分类 定义： 0 若函数 在 处不解析， f z z ( ) 0 0 但在 的某一去心邻域 内处处解析， z z z 0 − 0 则称 为函数 的 z f z( )1 z f z 0 ( ) z 如： 是函数 的孤立奇点， = = 1 ( ) . z 也是函数 的孤立奇点 f z e = 1 0 ( ) 1 sin z f z z 如 是函数 的一个奇点， = =1 ( 1, 2, ) n z n n 除此之外， 也是它的一个奇点， = = 1 n z 0 n 当 的绝对值逐渐增大时， 可任意接近 ， = 即在 不论怎样小的去心邻域，总有函数 的奇点存在， z f z = 0 ( ) 所以 不是函数 的孤立奇点 z f z = 0 ( ) . 孤立奇点
孤立奇点分类: 函数(-)在孤立奇点的邻域0<2--0<展为洛朗级数为: f(z)=∑C(z-=0)+∑Cn(x-=) 解析部分 主要部分 (1)主部消失即只有∑Cn(=2-),则称=为函数()可去奇点 (2)主部仅含有限项m项,则称为函数()的m阶极点 (3)主部含有无限多项,则称为函数()本性奇点 2021/224
2021/2/24 7 孤立奇点分类： (1)主部消失 0 0 函数 在孤立奇点 的邻域 内展为洛朗级数为： f z z z z ( ) 0 − f z( ) = 0 0 ( )n n n C z z = 即只有 ， − 0 则称 为函数 的 z f z( ) (2)主部仅含有限项 (m项), 0 则称 为函数 的 z f z( ) (3)主部含有无限多项， 0 则称 为函数 的 z f z( ) 0 0 ( )n n n C z z = − + 0 1 ( ) n n n C z z − − = − 解析部分 主要部分 可去奇点 m阶极点 本性奇点
例1.说明点=0是函数/(2)= Sin 的可去奇 解:函数()在=0去心邻域内可展开成洛朗级数为 f(=) z-+-2 展开式中不含负幂项, →z=0是函数f(=) SIn 的可去奇点 ∠ 2021/224
2021/2/24 8 • 例1． 解： sin 0 ( ) z z f z z 说明点 是函数 的可去奇点. = = 函数 在 的去心邻域内可展开成洛朗级数为： f z z ( ) 0 = 3 5 sin 1 ( ) ( ) 3! 5! z z z f z z z z = = − + − 1 1 2 4 1 , 3! 5! = − + − z z 展开式中不含负幂项，sin 0 ( ) z z f z z = = 是函数 的可去奇点