华东师范大学数学系：《常微分方程》课程教学资源（学习指导，共三章，负责人：高雄）

常微分方程学习指导 华东师范大学数学系 2004年1月

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目录 第一章基本概念和初等解法 1.1微分方程的基本概念 1 1.2初等解法 4 1.3基本理论问题 20 第二章线性微分方程组 2.1引论 26 2.2一般理论 30 2.3常系数线性微分方程组 36 2.4高阶线性微分方程 43 第三章定性和稳定性理论 3.1基本概念 54 3.2二阶系统的定性分析 58 3.3一般非线性系统平衡点的稳定性 64 3.3后记 69 1

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第一章基本概念和初等解法 1.1高阶方程的定析非念 基本概念 1.常微分方程所谓常微分方程就是一个或几个联系着一个自变量、未 知函数与它们的微分或未知函数的导数之间关系的等式 以下就是一些常微分方程的例子 x2+1, (1.11 sint 2 rdx+ tdt=0 1.1.4 其中(1.1.1)不显含自变量t,(11.2)不显含未知函数x,(1.13)不显含自 变量t和未知函数x.(11.4)是常微分方程的微分形式,其中变量t和x没有 指定自变量和因变量,它描述了这两个变量之间的关系,这个关系不一定是单 值的函数关系 本指导书中在不会混淆时简称“常微分方程”为“微分方程”甚至简称为“方 在微分方程中,必定含有未知函数的导数,其中出现的最高阶数就称为该 微分方程的阶数;微分方程中可以不显含自变量或未知函数本身. 般n阶常微分方程可写成如下隐方程形式 F(t,, at d'r dtn (1.1.5) 其中F是其变元的已知函数 但在实际常常讨论最高阶导数已解出的标准形式 f(t, (1.1.6) 即方程的左边是未知函数的最高阶导数(m阶导数),而方程的右边为自变量 未知函数和未知函数低于n阶的导数的已知函数

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1. 2 $%2{"_\] I#F`{ I#`#Jw"`. w$ rtuv3|} dx dt = x 2 + 1, (1.1.1) d 2x dt 2 = sin t, (1.1.2) d 2x dt 2 = 1, (1.1.3) xdx + tdt = 0, (1.1.4) XI (1.1.1) `~% & t, (1.1.2) `~{"# x, (1.1.3) `~% & t {"# x. (1.1.4) tuv3tu6d, XI & t  x *y *6% &' &< 078M()* &Rc/< (*c/6 > +"#c/. *sI -)m`“tuv3”'“tuv3”#im`'“v 3”. tuv3I, X6~y{"#s#, XIZ<% #$`'w `#; tuv3IO`~% &i{"#%. d n tuv3Oqrqw,v36d F(t, x, dx dt , . . . , d nx dt n ) = 0; (1.1.5) XI F X gz{"#. =EF4% s#z Z} d nx dt n = f(t, x, dx dt , . . . , d n−1x dt n−1 ), (1.1.6) sv3￾h {"#% s# (n s#), Uv3gh'% &B {"#{"#S\ n s#z{"#. 1

记x 可以把n阶方程(1.1.6)作为如下n个未知函数x1,x2, xn的n个一阶方程进行讨论: 1 dt=f(,1,…xn 可以把它作为一个矢量(本书中用粗体字母表示矢量)的微分方程 da dtf(t, a), (1.1.8) 其中x=(x1,,xn),f=(0,,f)均为n维列矢量 2.线性和非线性若n阶微分方程(11.5)中的函数F关于未知函数x, 以及未知函数的导数a,…,drn作为m+1个变量的整体是一次有理整式, 我们就称它为n阶线性方程,它的一般形式是 a0(t)x()+a1(x(n-1)+…+an-1(t)x+an(t)x=f(t),(1.1.9) 其中ao(t)≠0.若f(t)≡0,则称方程(1.19)为线性齐次方程,若f(t)≠0 则称方程(1.1.9)为线性非齐次方程.若a0(t)≠0时,可将上式两边同除以 (t)就得到最高阶导数项的系数是1的标准形式.函数矢量的一阶线性微分 方程的一般形式为 A(t)a+f(t) (1.1.10) 其中x,f均为n维列矢量,而A(t)为n阶方阵(本书中都用这种字体表示矩 阵,粗体字表示矢量) 不是线性的方程就称为非线性方程.例如x=sinx,xx'=t,x'=x2,都 是非线性方程.因为sinx不是x的一次函数;xx′关于未知函数及其导数是 次的,x2关于未知函数是二次的.而x′=t2是线性方程,因为t2是已知 函数,关于未知函数和其导数是一次的 3.微分方程的解如果把已知函数x=y(t)或函数矢量=q(t)及其 导函数代入相应的微分方程,使得该微分方程在函数p()或函数矢量q(t)的 定义区间Ⅰ上成为恒等式,则称这种函数φ(t)或函数矢量φ(t)为微分方程在 区间Ⅰ上的(显式)解.这个区间Ⅰ称为微分方程的解的定义区间.同一个微分 方程可以有不同的解,不同的解的定义区间可以不同 由定义可见解函数的定义区间I的长度一定大于零,不然解函数的导数就 没有意义.定义区间可能是开区间,闭区间,或半开半闭区 若方程的解是由隐函数决定的,则称之为隐式解.若方程的解是由参数形 式表示的,则称之为参数形式解

Y x1 = x, Oj n v3 (1.1.6) 'qw n *{"# x1, x2, . . ., xn n * v3+K4    dx1 dt = x2, dx2 dt = x3, . . . dxn−1 dt = xn, dxn dt = f(t, x1, . . . , xn); (1.1.7) Oj0'*w&(I{.?/￾rw&)tuv3: dx dt = f(t, x), (1.1.8) XI x = (x1, . . . , xn) T , f = (0, . . . , f) T ]' n f!w&. 2. "z#" @ n tuv3 (1.1.5) I"# F c\{"# x, {"#s# dx dt , . . ., d nx dt n ' n+1 * &? y9d, |}$`0' n ", 0d6d a0(t)x (n) + a1(t)x (n−1) + · · · + an−1(t)x 0 + an(t)x = f(t), (1.1.9) XI a0(t) 6≡ 0. @ f(t) ≡ 0,`v3 (1.1.9) ':;jv3, @ f(t) 6≡ 0, `v3 (1.1.9) ':;9jv3. @ a0(t) 6= 0 )< Obfd)hWk a0(t) $lM% s# /# 1 306d. "#w& :;tu v3d6d' dx dt = A(t)x + f(t), (1.1.10) XI x, f ]' n f!w&, U A(t) ' n v% (I{(i/?rk %, .?/rw&).  :;v3$`'#". |q x 0 = sin x, xx0 = t, x 0 = x 2 ,  9:;v3. '' sin x  x "#; xx0 c\{"#Xs# < x 2 c\{"# . U x 0 = t 2 :;v3< '' t 2 z{ "#< c\{"#Xs# . 3. `* qjz{"# x = ϕ(t) i"#w& x = ϕ(t) X s"#de, tuv3, Qlwtuv3"# ϕ(t) i"#w& ϕ(t) 6] I fr'd, `(i"# ϕ(t) i"#w& ϕ(t) 'tuv3 ] I f(`d) . (*] I `'tuv3 6]. W*tu v3OyW , W 6]OW. 6OP "#6] I 06#\, g "#s#$ *yt. 6]OP ], ], iq q]. @v3 ,"#M6, `R',d . @v3 F#6 dr, `R'F#6d . 2

4.通解、定解问题和特解对于n阶方程(1.1.5)来说,如果在它的解 x=φ(t,C1,…,Cn)中含有n个独立的任意常数c1,…,Cn,则称这个解为 (1.15)的通解 例如dr/dt=2t的通解为x=t2+c,但y=x2+c1+e中的常数c1和 就不是独立的,因为可以将这两个常数相加而成为一个常数.值得注意的是通 解不一定包含了方程所有的解:例如可以验证x=ct-c2是方程x=tx-x 的通解,其中c为任意常数;这个方程还有一个解x=t2/4就不包括在它的通 由于微分方程的通解总含有任意常数,因此为了确定它的某个特定的解,还 必须给出该解所应满足的条件,这种条件就称为定解条件.定解条件由于实际 情况的不同有各种各样,我们在本书中只考虑初始条件,初始条件是指当自变 量在某一给定点时,未知函数以及它的低于方程阶数的导函数在该点应取给定 的数值.对于方程(1.1.5)的初始条件为 C( to=a 0,x(to)=x1 n-1 其中x0,x1,…,xn-1为给定的已知数值.而对于矢量方程(1.1.7)的初始条 件为 这里to为自变量t在其变化区间I中的一个给定点,而co为给定的n维常 我们把微分方程的不含任意常数的解称为该方程的特解 例如可以验证x=c1cost+e2sint是二阶方程x"+x=0的通解.因 此不难求出x”+x=0满足初始条件x(0)=1,x(0)=0的特解为x=cost 二、一阶方程解的几何意义 对于一阶微分方程,习惯上用x,y作为变量,并且常常用x作为自变量 y作为未知函数 1.积分曲线设D为,y平面上的区域,考虑微分方程 =f(x,y),(x,y)∈D. (11.11 设函数y=y(x)为(1.1.11)的一个特解,这函数在x,y平面上的图像是D 中的一条曲线,我们称它为方程(1.1.11)的一条积分曲线.设(11.11)的通解 是,y=g(x,c),当其中任意常数c在某一实数集合中取值时,就得到D中的 积分曲线的集合,我们称它为积分曲线族(1.1.11)满足初始条件y(x0)=90 的特解就是通过点(x0,3)∈D的积分曲线.此外,在(11.11)的积分曲线 上任一点(x,φ(x)处,其切线斜率φ(x)正好等于函数f(x,y)在该点处的 值f(x,φ(x),即y=g(x)满足方程(1.1.11);反之,如果对于D中的任 条光滑曲线y=2(x),在它上面任一点处的切线斜率φ(x)刚好就是函数 ∫(x,y)在该点处的值f(x,p(x),则此曲线就是(1.1.11)的积分曲线

4. -* }*$%z.* \ n v3 (1.1.5) ;~, q0 x = ϕ(t, c1, . . . , cn) I~y n */t# c1, . . . , cn, `(* ' (1.1.5) -*. |q dx/dt = 2t ' ' x = t 2+c, = y = x 2+c1+c2 I# c1  c2 $ /, ''Ob()*#,Ur'*#. +lst - *2}&345*`*; |qOM x = ct−c 2 v3 x = tx0 −x 02 ' , XI c 't#; (*v3xy* x = t 2/4 $:;0' I. \tuv3' ~yt#, 'c'MN60(*D6 , x X?Zw $ 78k, (ik$`'}*|@. 6 k\EF uvWyqiqX, |}IVno!k, !k *m% &(6), {"#0S\v3 #s"#w 6 #+. \v3 (1.1.5) !k' x(t0) = x0, x0 (t0) = x1, . . . x(n−1)(t0) = xn−1; XI x0, x1, . . . , xn−1 '6z{#+. U\w&v3 (1.1.7) ! k' x(t0) = x0, (( t0 '% & t X !] I I*6, U x0 '6 n f w&. |}jtuv3~t# `'wv3.*. |qOM x = c1 cost + c2 sin t  v3 x 00 + x = 0 ' . ' cOYZ x 00 + x = 0 78!k x(0) = 1, x 0 (0) = 0 D ' x = cost.  *`OPQ \ tuv3, 0f{ x, y ' &< _0{ x '% &< y '{"#. 1. yR" R D ' x, y \lf]0, notuv3 dy dx = f(x, y), (x, y) ∈ D. (1.1.11) R"# y = ϕ(x) ' (1.1.11) *D , ("# x, y \lf { D IS:, |}`0'v3 (1.1.11) yR". R (1.1.11) ' , y = ϕ(x, c), mXIt# c (E#￾I+), $lM D I @uS:￾, |}`0'yR"U. (1.1.11) 78!k y(x0) = y0 D $ '2 (x0, y0) ∈ D @uS:. c,  (1.1.11) @uS: f (x, ϕ(x)) , XE:V ϕ 0 (x) 1=\"# f(x, y) w + f(x, ϕ(x)), s y = ϕ(x) 78v3 (1.1.11) ; 2R, q\ D I WXS: y = ϕ(x), 0flE:V ϕ 0 (x) Y=$ "# f(x, y) w+ f(x, ϕ(x)), cS:$ (1.1.11) @uS:. 3