第一章 复数与复变函数 内容提要:复变函数就是自变量为复数的函数, 本章先学习复数的概念、性质与运算,然后再 引入平面上的点集、复变函数极限、连续.本 章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基 本概念有相似之处,可以把它们看作微积分学 中相应的概念及定理在复数域中的推广 2021/224
2021/2/24 4 第一章 复数与复变函数 ▪ 内容提要：复变函数就是自变量为复数的函数， 本章先学习复数的概念、性质与运算，然后再 引入平面上的点集、复变函数极限、连续．本 章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基 本概念有相似之处，可以把它们看作微积分学 中相应的概念及定理在复数域中的推广．
第一章 复数与复变函 数 >11复数 >1.2复数的三角表示 >1.3平面点集的一般概念 >14无穷大与复球面 >1.5复变函数 本章小结 ☆思考题 2021/224
2021/2/24 5 第一章 复数与复变函 数 ➢1.1 复数 ➢1.2 复数的三角表示 ➢1.3 平面点集的一般概念 ➢1.4 无穷大与复球面 ➢1.5 复变函数 ❖ 本章小结 ❖ 思考题
第一节复数 一、复数的基本概念 定义1:设x与y都是实数,称x+i为复数 记为:z=x+jy 称x为的实部(Real),记Rez=x 称y为z的实部( Imaginary,记Iz=y 例如:==√2+则Rez=√2,Imz=1 特别地,当y=O)时,则z=x为实数; x=0且y≠O时则=称为纯虚数; 2021/224
2021/2/24 6 第一节 复数 ➢ 一、复数的基本概念 称 为 的实部 记 x z al z x (Re ), Re = 称 为 的实部 记 y z z y (Imaginary), Im = 例如：z i = + 2 , 则Re 2, Im 1 z z = = 当 且 时 则 称为纯虚数； x y z iy = = 0 0 , , 特别地，当 时 则 为实数； y z x = = 0 , 定义 ：设 与 都是实数，称 为复数， 1 x y x iy + 记为：z x iy = +
定义2:设两复数=x+与=2=x2+2,则1=2x=x,y1=y2 即Rez1=Rez2,Imz1=Imz 二、复数的代数运算 1.复数的和、差、积、商 设复数1=x1+i1与2=x2+2,则 和与差:x1土2=(x1+x)土(y1+2) 积商 :1·2=(xx2-yy2)+1(xy2+x2y) x+)+(2-xy2 xix2tv1y2 ),2≠0 ()复数的运算满足交换律、结合律、分配律 2021/224
2021/2/24 7 1 1 1 2 2 2 定义2：设两复数 与 ， z x iy z x iy = + = + 1 2 1 2 1 2 则 ， z z x x y y = = = Re Re , Im Im 1 2 1 2 即 z z z z = = ➢ 二、复数的代数运算 1 1 1 2 2 2 设复数 与 ，则 z x iy z x iy = + = + 1.复数的和、差、积、商 1 2 1 2 1 2 和与差： z z x x i y y = + ( ) ( + ) 积： 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z x x y y i x y x y = − + + ( ) ( ) 商： 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ), 0 z x x y y x y x y i z z x y x y + − = + + + 复数的运算满足交换律、结合律、分配律．
2.共扼复数及性质 定义3:设复数=x+j,则称复数x-y为的共轭复数,记做z 重要性质: (1)1±2=1+2,12=2 (3)z2=(Rez)2+(mz)2=|21 (4)2+2=2Re2, 2-2=2iImz 复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用 2021/224
2021/2/24 8 2．共扼复数及性质 定义3：设复数 ，则称复数 为 的 ，记做 z x iy x iy z z = + − 共轭复数 重要性质： 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 (1) , , z z z z z z z z z z z z = + = = (2) (z z ) = 2 2 2 (3) (Re ) (Im ) z z z z z =+= (4) 2Re z z z + = , 2 Im z z i z − = 复数的共扼性质在实际计算和证明中有广泛应用