第四章解析函数的级数表 本章的主要内容是:复数项级数和复变函数项级 数的一些基本概念和性质;重点介绍复变函数项 级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛 朗级数 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念科 定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围厌 的直接推广,因此,在学习中结合高等数学中 穷级数部分的复习,并在对此中进行学习 2021/224
2021/2/24 4 第四章 解析函数的级数表 示 ▪ 本章的主要内容是：复数项级数和复变函数项级 数的一些基本概念和性质；重点介绍复变函数项 级数中的幂级数和由正、负整次幂项所组成的洛 朗级数. ▪ 关于复数项级数和复变函数项级数的某些概念和 定理都是实数范围内的相应的内容在复数范围内 的直接推广，因此，在学习中结合高等数学中无 穷级数部分的复习，并在对此中进行学习．
第四章解析函数的级数 表示 >4.1复数项级数 >42复变函数项级数 4.3泰勒级数 >44洛朗级数 本章小结 今思考题 2021/224
2021/2/24 5 第四章 解析函数的级数 表示 ➢4.1 复数项级数 ➢4.2 复变函数项级数 ➢4.3 泰勒级数 ➢4.4 洛朗级数 ➢本章小结 ❖ 思考题
第一节复数项级数 复数列极限 定义:设{n}={xn+n}(n=12…)为一复数列,又==x+为一确定复数, 如果对任意给定E>0,相应地能找到一个正数N(e)>0,当n>M时,有=n-=0<E成立, 则称。为复数列{=n}当n→>∞时的极限,记作: imzn==0,或称复数列二n收敛于z 定理1:复数列=n收敛于=,即1mn=5的充要条件是 Im x Im 1 n→00 2021/224
2021/2/24 6 第一节 复数项级数 ➢ 一、复数列极限 定义： 0 0 0 { } { } ( 1, 2, ) n n n 设 为一复数列，又 为一确定复数， z x iy n z x iy = + = = + 0 0 ( ) 0 N n N z z n 如果对任意给定 ，相应地能找到一个正数 ，当 时，有 成立， − 0 { }n 则称 为复数列 当 时的极限，记作： z z n → 0 lim , n n z z → = { } . n 或称复数列 收敛于 z z 定理1： 0 0 0 0 lim { } lim . lim n n n n n n n x x z z z z y y → → → = = = 复数列 收敛于 ，即 的充要条件是
证明:必要性已知imzn= →VE>0.N∈N,当n>N时,有xn+)-(x+-)<6 n-==(xn-x)+0n-y)<6 → lim x=x,同理可得: lim y=yo 充分性已知lmxn=x,imyn=y n→)0 n→)00 →VE>0,N∈N+,当n>M时,都有x-x4 n-=a|=(x-x)+(yn-)≤{x,-x+(n-1)k<,盒 →lmz.=z n→)00 2021/224
2021/2/24 7 证明：必要性 0 lim n n z z → 已知 ， = 0 0 0, , ( ) ( ) . N N n N x iy x iy n n + − + + 当 时，有 0 0 0 0 ( ) ( ) n n n n − − = − + − x x z z x x i y y 0 lim , n n x x → = 0 lim . n n y y → 同理可得： = 充分性 0 0 lim ,lim n n n n x x y y → → 已知 ， = = 0 0 0, , , ( ) 2 2 N N n N x x y y n n − − + 当 时，都有 ， 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) , n n n n n − = − + − − + − z z x x i y y x x y y 0 lim . n n z z → =
例1.下列复数列是否收敛?如果收敛,求出其极限 (1)=n=(1+-)en,(2)n= n cos in +3 (3)n=( 解: (1)=n=(1+-)e"=(1+-)cos+isin x,=(1+cos,y,=(1+sin 1. lim y n→0 En=(1+-)e收敛,且有 lim z=1 (2)E,=ncosin =n(e +e)=ncoshn )=ne"(e-+1) → lim z,= lim -ne'(e+1)=∞, n→)0 n→① 所以复数列{=}发散 2021/224
2021/2/24 8 • 例1．下列复数列是否收敛？如果收敛，求出其极限. 1 (1) (1 ) , i n n z e n = + (2) cos , n z n in = 1 3 (3) ( ) . 6 n n i z + = 解： 1 (1) (1 ) i n n z e n = + 1 (1 )(cos sin ) i n n n = + + 1 1 (1 ) cos , (1 ) sin , n n x y n n n n = + = + lim 1,lim 0, n n n n x y → → = = 1 (1 ) i n n z e n = + 收敛， lim 1. n n z → 且有 = (2) cos n z n in = 1 ( ) 2 n n n e e − = + = n n cosh 1 2 ( ) ( 1) 2 2 n n n n n e e ne e − − = + = + 1 2 lim lim ( 1) , 2 n n n n n z ne e − → → = + = { } . n 所以复数列 发散 z