离散模型之二——层次分析法建模 背景日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素 ·作比较、判断时人的主观选择起相当 主要作用,各因素的重要性难以量化 t.l.Saaty于1970年代提出层次分析法一 -AHP(Analytic Hierarchy Process) ·AH一种定性与定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法 层次分析法的基本步骤 例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择 目标层 O(选择旅游地) C.C2 C3 C4 C 准则层(景色(费用)(居住)(饮食)(旅途 方案层 P P3 (桂林)(黄山)(北戴河) 1
“选择旅游地”思维过程的归纳 将决策问题分为3个层次:目标层O,准则层C, 方案层P;每层有若干元素,各层元素间的关系 用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方 案对每一准则的权重。 ·将上述两组权重进行综合,确定各方案对目标的 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤,给出决策问题的定量结果。 层次分析法的基本步骤 成对比较阵 和权向量元素之间两两对比,对比采用相对尺度 设要比较各准则C1C2Cn对目标O的重要性 C: C =aA=(am,a, >0, ai ds 11/2 21755A成对比较阵 旅A=1/41/711/21/3 A称正互反阵 1/31/5 地 1/31/53 要由A确定C1Cn对O的权向量
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成对比较的 11/24 不一致情况A a2=1/2(C:C)一致比较 不一致 4(C1:C) 23=8(C2:C3) 允许不一致,但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况: W→w,w∴ a =w/w )~权向量 成对比较完全一致的情况 若正互反阵A满足 =a,,k=12…;n 则A称一致阵。 一致阵·A的秩为1,A的唯一非零特征根为n 性质·A的任一列向量是对应于n的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A,建议用对应于最大特征根xAw=w 的特征向量作为权向量w,即
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比较尺度 Saty等人提出1-9尺度—a,取值 范围:1,2,9及其互反数1,12,…19 ·便于定性到定量的转化 尺度 C:C的重要性相同稍强强明显强绝对强 a,=1,1/2,,1/9~C:C的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 用1~3,1~5, 1p-9p(p=2,3,4,5),d+0. (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比 较阵,算出权向量,与实际对比发现,1~9尺度较 优。 致性检验对A确定不一致的允许范围」 已知:n阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证:n阶正互反阵的最大特征根λ≥n,且λ=n时为一致阵 定义一致性指标:≈2-n C越大,不一致越严重 为衡量C酌大小,引入随机一致性指标RⅠ—随机模拟 得到a,形成A,计算C即得RI。一组数据为 6789 RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 定义一致性比CR=CI/RⅠ 当CR<0.1时, 率 通过一致性检
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“选择旅游地”中准则层对目标的成对比较阵 准则层对目标的权 11/24 向量及一致性检验 A=1/41/711/21/3 最大特征根λ=5.073 1/31/531 权向量(特征向量)w=0.263,0.475,0.055,0.090,0.110T 致性指标C1=3513=0 0.018 随机一致性指标R=1.12(查表) 一致性比率C8002060过数 组合权向量记第2层(准则)对第层(目标) 的权向量为w2)=(w12 同样求第3层(方案对第2层每一元素准则的权向量 方案层对C景色)方案层对C4费用) 的成对比较阵 的成对比较阵 25 11/31/8 B1=1/2 2 1/51/21 最大特征根A1 权向量 (3)
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