《理论力学》课程教学资源（PPT讲稿）第十八讲 哈密顿正则方程

维弹簧振子的运动 L=T OL 哈密顿量H=E2+Ek q H=E+E.=mx2/2+kx2/2 P ●●鲁 广义动量 +-k x.广义位移 2m2 哈密顿正则方程: aH P x op 动量定义 aH__kx 牛顿第二定律 ax m=-kx即:mi+kx=0

• 哈密顿量 H=Ep+Ek 2 2 2 2 2 1 2 2 2 kx m p H Ek E p mx kx = + = + =  / + / 动量定义 牛顿第二定律 p …广义动量 x…广义位移 mx  = −kx 即： mx  + kx = 0 m p p H x =    = kx x H p = −    = − 哈密顿正则方程： 一维弹簧振子的运动 i i q L p    L = T −V =

三、守恒定理 1能量守恒 OH OL 因为 dh aH aH aH d at ∑ aH OHOHOHOHOH dg op ap a at at 只要H不显含时间,它就是守恒的,即不随时间变化

因为 三、守恒定理 t H t H q H p H p H q H t H p p H q q H t H s s   =   +            −     =   +          +   =   = = 1 d 1 d             只要H不显含时间, 它就是守恒的, 即不随时间变化. ? t L t H   = −   1 能量守恒

H中不显含埘时,再分稳定约東与不稳定约束这两种情 况来讨论。 1、稳定约束 OT T=72 ∑ =2T H=-L+∑qa=(7-p)+2T H=T+V=h= const 对于完整的保守力学体系来说,若H不显含t,而且 体系受稳定约束时,体系的H是能量积分,这时体系的 机械能守恒

H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情 况来讨论。 1、稳定约束 T＝T2 q T q T q q T s s 2 1 2 1 =           =             = =          =   = − + s q q T H L  1     = −(T −V) + 2T H = T ＋ V = h = const 对于完整的保守力学体系来说，若H不显含t，而且 体系受稳定约束时，体系的H是能量积分，这时体系的 机械能守恒

不稳定约束 OT 7=72+11+10 qa=272+71 q H=-+∑ OT e1cqa=T2-70+1 HET-To+ V h= const 可见,对于完整的保守力学体系来说,若H中不 显含t,而且体系受不稳定约束时,体系的H是广义能 量积分

2、不稳定约束 T = T2 +T1 +T0 = = +   s q T T q T 1 2 2 1      =   = − + s q q T H L  1     = T2 − T0 +V H = T2 － T0 ＋ V= h = const 可见，对于完整的保守力学体系来说，若H中不 显含t，而且体系受不稳定约束时，体系的H是广义能 量积分

2循环积分 若H=H(q1,…,qs;p1,…,ps;t)中 不显含某个p;或某个q,即p;,q为循环坐标, 则由哈密顿方程立即得到 OH O p;=0 q厂= const pi= -const

2 循环积分 若 H =H（q1，…，qs；p1，…，ps；t）中 不显含某个pi 或某个qi，即pi ，qi 为循环坐标， 则由哈密顿方程立即得到 = = 0   i i q p H  qi=const = − = 0   i i p q H  pi =const