第二章 拉普拉斯变换单位脉冲函数s(t-t)可以看作是单位阶跃函数u(t-t)在间断点t=to上的导数。dS(t-to)u(t-to)dt相反，如果对单位脉冲函数s(t-t)积分，积分的结果就是单位阶跃函数u(t-to)" s(t -to)dt =u(t - to)利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量值
第二章 拉普拉斯变换 ( ) d d ( ) 0 0 u t t t t − t = − ( )d ( ) 0 0 0 t t t u t t t t − = − ( ) 0 t − t ( ) 0 u t − t 0 t = t 单位脉冲函数 可以看作是单位阶跃 函数 在间断点 上的导数。 ( ) 0 相反，如果对单位脉冲函数 t − t 积分，积分的 结果就是单位阶跃函数 ( ) 0 u t − t 利用脉冲函数的概念，我们可以对包含不连续 点的函数进行微分，从而得到一些脉冲，这些 脉冲的量值等于每一个相应的不连续点上的量 值
第二章 拉普拉斯变换（7）加速度函数At?t≥0f(t)=0t<0A为常数ASL[At}]= ( At'e-s'dt =2dt:2Ate3JoSs0t<0a(t)1t≥02A=1/2+2单位抛物线信号a(t)CS
第二章 拉普拉斯变换 0 0 0 ( ) 2 = t At t f t A为常数 (7) 加速度函数 3 0 0 2 0 2 2 1 [ ] d 2 d 2 s t e t e t A s A L At At e t s t s t s t = = = − − − − 单位抛物线信号 A=1/2 a(t) 3 2 1 2 1 s L t = 0 0 2 1 0 ( ) 2 = t t t a t
第二章拉普拉斯变换a(t-to)发生在tt.时的单位加速度函数通常写成86420t1(b)(a)
第二章 拉普拉斯变换 0 a(t) 0 t ( ) 0 a t − t t 0 t (a) (b) 8 6 4 2 1 2 3 4 ( ) 0 发生在 a t − t t＝t 0时的单位加速度函数通常写成
第二章 拉普拉斯变换2.关于拉氏积分下限的说明在某些情况下，如果时间函数f()在t0处有脉冲函数S(t)，必须明确地指出拉氏积分的下限是0一还是0十。L:[f(t)]= (f(t)e-sdtL[f(t)] = J~ f(t)e-s"dt = f° f(t)e-"'dt + L[f(t)如果时间函数f(t)在t=0处包含一个脉冲函数s(t)* f(t)e-stdt + 0L.Lf(t)]+ L_[f()如果在t三0处不包含脉冲函数L.[f(t)] = LLf(t))
第二章 拉普拉斯变换 2. 关于拉氏积分下限的说明 f (t) (t) 在某些情况下，如果时间函数 在t＝0处有 脉冲函数 ，必须明确地指出拉氏积分的下限 是0－还是0＋。 [ ( )] ( ) d ( ) d [ ( )] [ ( )] ( ) d 0 0 0 0 L f t f t e t f t e t L f t L f t f t e t s t s t s t + − − − − + = = + = + − − + 如果时间函数 f (t) 在t＝0处包含一个脉冲函数 (t) 如果在t＝0处不包含脉冲函数 L [ f (t)] L [ f (t)] + = − L [ f (t)] L [ f (t)] + − ( ) d 0 0 0 + − − f t e t st
第二章拉普拉斯变换2.2拉氏变换的性质2.2.1线性性质证明：L[Kifi(t)± K,f,(t)] = ( [K,fi(t)±K22(t)]e-stdtK,f(t)e-stdtJe Kifi(t)e-s"dt±JO=K,F(s)±K,F(s)这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等于各函数拉氏变换的线性组合
第二章 拉普拉斯变换 2.2 拉氏变换的性质 2.2.1 线性性质 线性性质也称叠加性质，即函数之和的拉氏 变换等于各函数拉氏变换之和。当函数乘以K时， 其变换式也乘以相同的常数K。 这个性质表明了函数线性组合的拉氏变换等 于各函数拉氏变换的线性组合。 [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 L K f t K f t = K F s K F s [ ( )] ( ) 1 1 L f t = F s [ ( )] ( ) 2 2 若 L f t = F s K1、K2为常数 则 ( ) ( ) ( ) d ( ) d [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] d 1 1 2 2 0 2 2 0 1 1 0 1 1 2 2 1 1 2 2 K F s K F s K f t e t K f t e t L K f t K f t K f t K f t e t s t s t s t = = = − − − 证明：