第二章 拉普拉斯变换2.1.2拉氏变换的存在定理若时间函数f(t)满足下列条件：(1)在0的任一有限区间上分段连续：(2)当t→时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数M>0及c≥0，使得If(t)I ≤Mect t 0≤t<8成立，则f(t)的拉氏变换F(s)= (f(t)e-stdt即：如果拉氏积分收敛，则时间函数f(t)的拉氏变换存在
第二章 拉普拉斯变换 2.1.2 拉氏变换的存在定理 若时间函数 f (t) 满足下列条件： (1) 在t≥0的任一有限区间上分段连续； (2) 当 t → 时， f (t) 的增长速度不超过某一指数 函数，亦即存在常数M>0及c≥0，使得 |f(t)| ≤Mect 0 t 成立， − = 0 F(s) f (t)e dt 则 的拉氏变换 st f (t) s c Re ( ) s c c Re ( ) 1 在半平面 上一定存在，右端的积分在 半平面内， 为解析函数。 上绝对收敛且一致收敛，并且在 s c Re ( ) F(s) 即：如果拉氏积分收敛，则时间函数 的 拉氏变换存在。 f (t)
第二章拉普拉斯变换1.常用函数的拉氏变换(1）指数函数0t<0f(t)=-ott≥0AeA和α为常数Ae-(α+s)tdt =L[Ae-α ]= lAe-"e-stdt = AJOs+α指数函数在复平面内将产生一个极点
第二章 拉普拉斯变换 0 0 0 ( ) = − t t Ae f t t A和α为常数 1. 常用函数的拉氏变换 (1) 指数函数 + = = = − + − − − s A L Ae Ae e t A e t t t s t s t 0 ( ) 0 [ ] d d 指数函数在复平面内将产生一个极点
第二章 拉普拉斯变换（2）阶跃函数0t<0f(t) =At>0A为常数AAe-stdt =L[A]= 10S0t<0u(t)A=11t>0L[u(t)]单位阶跃信号u(t)二S
第二章 拉普拉斯变换 0 0 0 ( ) = t t A f t (2) 阶跃函数 A为常数 s A L A Ae t s t = = − 0 [ ] d 单位阶跃信号u(t) A=1 ( ) s L u t 1 = 0 0 1 0 ( ) = t t u t
第二章拉普拉斯变换发生在t=t,时的单位阶跃函数通常写u(t -to)成u(t)u(t -to)(a)(b)ttto发生于t=0时的阶跃函数，相当于在时间t=0把一个定常信号突然加到系统上。高度为A的阶跃函数，当其发生在t=O时，可以写成f(t) = Au(t)
第二章 拉普拉斯变换 发生在t＝t 0时的单位阶跃函数通常写 成 ( ) 0 u t − t 0 0 u(t) t 1 ( ) 0 u t − t t 1 0 t (a) (b) 发生于 t = 0 时的阶跃函数，相当于在时间 t = 0 把一个定常信号突然加到系统上。 t = 0 f (t) = Au(t) 高度为A的阶跃函数，当其发生在 时， 可以写成
第二章 拉普拉斯变换(3）斜坡函数0t<0f(t) =Att≥0A为常数180est-StAAeXL[At]= Ate-stdt =dt AtLsuJoJoSSSC0t<0f(t)A-1t≥0L1单位斜坡信号r(t)L[r(t)]一2S
第二章 拉普拉斯变换 A为常数 (3) 斜坡函数 0 0 0 ( ) = t t At f t 2 0 0 0 0 [ ] d d d s A e t s A t s Ae s e L At Ate t At s t s t s t s t = = − − − = = − − − − 单位斜坡信号 r(t) A=1 ( ) 2 1 s L r t = 0 0 0 ( ) = t t t f t