12,T2 d l(+1) 2uE (rR(r)) dr (rR(r)+2(rR(r)=0 2LE d 2 d 2R(p)+2R(p)+[1--2R(p)=0 p dp
令 2 2 2 E k μ = h ρ = kr ]R( ) 0 l(l 1) R( ) [1 d 2 d R( ) dd 2 2 2 = + + + − ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ 2 22 2 d l(l 1) 2 E (rR(r)) (rR(r)) (rR(r)) 0 dr r+ μ − + = h 2 z H,L ,L ˆˆ ˆ
这即为球贝塞尔函数满足的方程 在p=0处为有限的解是 R(P)=CJI(p)=c(-p) I Sinp p dp 而在p=0处为无穷的解是 R(p)=cn1(p)=c(-1)(p) 1d、Cosp p dp p
这即为球贝塞尔函数满足的方程 。 在 处为有限的解是 而在 处为无穷的解是 ρ = 0 ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ sin ) d 1 d R ( ) cj ( ) c ( ) ( l l = l = − ρ = 0 l l l 1 d cos R( ) cn ( ) c( 1)( ) ( ) d ρ ρ = ρ = − −ρ ρ ρ ρ
p→>0 j(p): +LI (2l+1)!!2(2l-3) n, (p) (2l+1) ()1t,Q +LI 2l+1p 2(21-3) p-> sin(p R(p)=cJ(p)c lπ coS(p R(P)=cn, (p)c
ρ → 0 l 2 lj ( ) [1 ] (2l 1)!! 2(2l 3) ρ ρ ρ −+ + − : L 2 l 1 l (2l 1)!! 1 n ( ) ~ ( ) [1 ] 2l 1 2(2l 3) + ρ + ρ ++ +ρ − L ρ → ∞ l l sin( ) 2 R( ) cj ( ) ~ c π ρ − ρ= ρ ρ l l cos( ) 2 R( ) cn ( ) ~ c π − ρ− ρ= ρ ρ
r→>0 由于rR(r)->0的条件,所以自由 粒子的本征函数为 ukm(,,)=k1/=i(kr)Ym1(,) T Exim 2m k 对于自由粒子,亦可选(PxPy,pz)作为 力学量完全集,其共同本征函数为
由于 的条件，所以自由 粒子的本征函数为 对于自由粒子，亦可选 作为 力学量完全集，其共同本征函数为 rR ( r ) 0 r 0 ⎯⎯ →⎯ → klm l lm 2 u (r, , ) k j (kr)Y ( , ) θ φ = θφ π 2 。 2 klm k 2 m E O = ( p , p , p ) x y z
r/ m PxPypz e (2兀簿 3/2 kk.k e 2(2x)32 而前述,直2作为力学量完全集,有 共同本征函数组 ukm(r,0,)=k=j(kr)Ym(e,d) T
而前述， 作为力学量完全集，有 共同本征函数组 O O i p r / 3 2 p p p e ( 2 ) 1 u x y z ⋅ = π i k r 3 2 k k k e ( 2 ) 1 u x y z ⋅ = π z 2 Lˆ L , ˆ H, ˆ klm l lm 2 u (r, , ) k j (kr)Y ( , ) θ φ = θφ π