均匀孤立系统的稳定判据 △2S= au2 042+2 a2s uav AU△V ≤0 →02 a(p/T,U)a(p/T,U)a(v,T) a(v,U) a(v,T)a(v,U) a,..微，l 1 =),是+器)p+r(器) -p-o微，= 02s2 a2s a2s →02 auav) au2 av2 2
均匀孤立系统的稳定判据 Δ 2 𝑆 = 𝜕 2𝑆 𝜕𝑈2 Δ𝑈 2 + 𝜕 2𝑆 𝜕𝑉2 Δ𝑉 2 + 2 𝜕 2𝑆 𝜕𝑈𝜕𝑉 Δ𝑈Δ𝑉 ≤ 0 ⇒ 0 ≥ 𝜕 2𝑆 𝜕𝑉2 = h 𝜕 𝜕𝑉 𝜕𝑆 𝜕𝑉 𝑈 i 𝑈 = 𝜕[𝑝/𝑇] 𝜕𝑉 𝑈 =? = 𝜕(𝑝/𝑇, 𝑈) 𝜕(𝑉, 𝑈) = 𝜕(𝑝/𝑇, 𝑈) 𝜕(𝑉, 𝑇) 𝜕(𝑉, 𝑇) 𝜕(𝑉, 𝑈) = 1 𝜕𝑈 𝜕𝑇 𝑉 = 𝐶𝑉 h 𝜕 𝑝/𝑇 𝜕𝑉 𝑇 𝜕𝑈 𝜕𝑇 𝑉 − 𝜕 𝑝/𝑇 𝜕𝑇 𝑉 𝜕𝑈 𝜕𝑉 𝑇 i = 1 𝑇 𝜕 𝑝 𝜕𝑉 𝑇 − 1 𝐶𝑉 h − 𝑝 𝑇 2 + 1 𝑇 𝜕 𝑝 𝜕𝑇 𝑉 i h−𝑝 + 𝑇 𝜕 𝑝 𝜕𝑇 𝑉 i ⇒ h 𝑝 − 𝑇 𝜕 𝑝 𝜕𝑇 𝑉 i2 ≥ 𝑇𝐶𝑉 / 𝜕𝑉 𝜕 𝑝 𝑇 = − 𝑇𝐶𝑉 𝑉 𝜅𝑇 ⇒ 0 ≥ 𝜕 2𝑆 𝜕𝑈𝜕𝑉 2 − 𝜕 2𝑆 𝜕𝑈2 𝜕 2𝑆 𝜕𝑉2 =?
均匀孤立系统的稳定判据 a2s a2s( auav →0≥ a2s 2 82s a2s auav) au2 av2 a1/T) a(p/T,1/T)_a(p/T,1/T)a(1/T,) a(U,v) 8(1/T,V) a(U,v) =),×0) Tv（邵），（)v 1 T3VKTCv KT≥0
均匀孤立系统的稳定判据 𝜕 2𝑆 𝜕𝑈𝜕𝑉 = 𝜕 𝑝/𝑇 𝜕𝑉 𝑈 = 𝜕 2𝑆 𝜕𝑉 𝜕𝑈 = 𝜕1/𝑇 𝜕𝑉 𝑉 ⇒ 0 ≥ 𝜕 2𝑆 𝜕𝑈𝜕𝑉 2 − 𝜕 2𝑆 𝜕𝑈2 𝜕 2𝑆 𝜕𝑉2 = 𝜕 𝑝/𝑇 𝜕𝑈 𝑉 𝜕1/𝑇 𝜕𝑉 𝑈 − 𝜕1/𝑇 𝜕𝑈 𝑉 𝜕 𝑝/𝑇 𝜕𝑉 𝑈 = 𝜕(𝑝/𝑇, 1/𝑇) 𝜕(𝑈, 𝑉) = 𝜕(𝑝/𝑇, 1/𝑇) 𝜕(1/𝑇, 𝑉) 𝜕(1/𝑇, 𝑉) 𝜕(𝑈, 𝑉) = − 1 𝑇 𝜕 𝑝 𝜕𝑉 𝑇 × h − 1 𝑇 2 𝜕𝑇 𝜕𝑈 𝑉 i = − 1 𝑇 3𝑉 −1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑝 𝑇 𝜕𝑈 𝜕𝑇 𝑉 = − 1 𝑇 3𝑉 𝜅𝑇 𝐶𝑉 ⇒ 𝜅𝑇 ≥ 0
内能极小判据 du=4o-4w=Tdes-4w=Tds-TdiS-4W<Tds-4w ≤TdS-pdW 如果系统的熵和体积保持不变的话，那么实际发生过程使得 △U≤T△S-p△V=0→实际发生过程内能减小 一熵和体积不变的系统，平衡稳定判据为内能极小 用内能极小判据来判断平衡稳定条件： 总系统N,V,S,保持不变。把系统分成各自均匀的两部分， W1,S1,M,Ti,p1,U1=U1(S1,,N1) N2,S2,V2,T2,p2,U2=U2(S2,V2,N2) S:≡S1+S2 :≡+V2 U=U1(S1,1,N1)+U2(S2,2,N2) S1→S1+△S1=S1+△SV→V+△V=V1+△V S2→S2+△S2=S2-△SV2→V2+AV2=V3-△V △U=U1(S1+△S,M+△V,1)-U1(S1,,N1) +U2(S2-△S,V2-△V,N2)-U2(S2,V2,N2)
内能极小判据 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑑𝑊 = 𝑇 𝑑𝑒𝑆 − 𝑑𝑊 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑇 𝑑𝑖𝑆 − 𝑑𝑊 ≤ 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑑𝑊 ≤ 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 如果系统的熵和体积保持不变的话，那么实际发生过程使得 Δ𝑈 ≤ 𝑇Δ𝑆 − 𝑝Δ𝑉 = 0 ⇒ 实际发生过程内能减小 ⇒ 熵和体积不变的系统，平衡稳定判据为内能极小 用内能极小判据来判断平衡稳定条件： 总系统 𝑁𝑡，𝑉𝑡，𝑆𝑡 保持不变。把系统分成各自均匀的两部分， 𝑁1, 𝑆1, 𝑉1, 𝑇1, 𝑝1, 𝑈1 = 𝑈1 (𝑆1, 𝑉1, 𝑁1)； 𝑁2, 𝑆2, 𝑉2, 𝑇2, 𝑝2, 𝑈2 = 𝑈2 (𝑆2, 𝑉2, 𝑁2) 𝑆𝑡 ≡ 𝑆1 + 𝑆2 𝑉𝑡 ≡ 𝑉1 + 𝑉2 𝑈 = 𝑈1 (𝑆1, 𝑉1, 𝑁1) + 𝑈2 (𝑆2, 𝑉2, 𝑁2) 𝑆1 → 𝑆1 + Δ𝑆1 = 𝑆1 + Δ𝑆 𝑉1 → 𝑉1 + Δ𝑉 = 𝑉1 + Δ𝑉 𝑆2 → 𝑆2 + Δ𝑆2 = 𝑆2 − Δ𝑆 𝑉2 → 𝑉2 + Δ𝑉2 = 𝑉2 − Δ𝑉 Δ𝑈 = 𝑈1 (𝑆1 + Δ𝑆, 𝑉1 + Δ𝑉, 𝑁1) − 𝑈1 (𝑆1, 𝑉1, 𝑁1) + 𝑈2 (𝑆2 − Δ𝑆, 𝑉2 − Δ𝑉, 𝑁2) − 𝑈2 (𝑆2, 𝑉2, 𝑁2)
内能极小判据 dU=do-4w=Tdes-4w=Tds-TdiS-4W <Tds-aW ≤TdS-pdW △U=U1(S1+△S,1+△V,N1)-U1(S1,Mi,W1) +U2(S2-△S,V2-△V,N2)-U2(S2,V2,N2) au=)(器)]As+)-()Av =(T-T2)△S-(p1-p2)△V 0 →T=T2 热平衡 →P1=P2 力学平衡 同样没有要求两部分密度相同
内能极小判据 𝑑𝑈 = 𝑑𝑄 − 𝑑𝑊 = 𝑇 𝑑𝑒𝑆 − 𝑑𝑊 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑇 𝑑𝑖𝑆 − 𝑑𝑊 ≤ 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑑𝑊 ≤ 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 Δ𝑈 = 𝑈1 (𝑆1 + Δ𝑆, 𝑉1 + Δ𝑉, 𝑁1) − 𝑈1 (𝑆1, 𝑉1, 𝑁1) + 𝑈2 (𝑆2 − Δ𝑆, 𝑉2 − Δ𝑉, 𝑁2) − 𝑈2 (𝑆2, 𝑉2, 𝑁2) Δ 1𝑈 = h 𝜕𝑈1 𝜕𝑆1 𝑉1 − 𝜕𝑈2 𝜕𝑆2 𝑉2 i Δ𝑆 + h 𝜕𝑈1 𝜕𝑉1 𝑆1 − 𝜕𝑈2 𝜕𝑉2 𝑆2 i Δ𝑉 = (𝑇1 − 𝑇2)Δ𝑆 − (𝑝1 − 𝑝2)Δ𝑉 = 0 ⇒ 𝑇1 = 𝑇2 ✞ ✝ ☎ 热平衡 ✆ ⇒ 𝑝1 = 𝑝2 ✞ ✝ ☎ 力学平衡 ✆ ☞同样没有要求两部分密度相同
内能极小判据：均匀体系稳定判据 把系统分成相同的两个均匀系统 S1=S2=S=S/2,V=3=V=V/2,N1=N2=N=N,/2 U1=U2=U(S,V,W)=U,(S1,V,N)/2 dU Tds-pdv △U=U(S+△S,V+△V,N)+U(S-△S,V-△V,N)-2U(S,V,W) APU= 74+22u OSavASAV >0 →0≤ 0品小原。-w》。w>0 0≤ 0-。=0。=影= 绝热压缩系数ks=-(部)、之0 霉绝热加压→体积减小
内能极小判据：均匀体系稳定判据 把系统分成相同的两个均匀系统 𝑆1 = 𝑆2 = 𝑆 = 𝑆𝑡/2，𝑉1 = 𝑉2 = 𝑉 = 𝑉𝑡/2，𝑁1 = 𝑁2 = 𝑁 = 𝑁𝑡/2 𝑈1 = 𝑈2 = 𝑈(𝑆, 𝑉, 𝑁) = 𝑈𝑡(𝑆𝑡 , 𝑉𝑡 , 𝑁𝑡)/2 𝑑𝑈 = 𝑇 𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 Δ𝑈 = 𝑈(𝑆 + Δ𝑆, 𝑉 + Δ𝑉, 𝑁) + 𝑈(𝑆 − Δ𝑆, 𝑉 − Δ𝑉, 𝑁) − 2𝑈(𝑆, 𝑉, 𝑁) Δ 2𝑈 = 𝜕 2𝑈 𝜕𝑆2 Δ𝑆 2 + 𝜕 2𝑈 𝜕𝑉2 Δ𝑉 2 + 2 𝜕 2𝑈 𝜕𝑆𝜕𝑉 Δ𝑆Δ𝑉 > 0 ⇒ 0 ≤ 𝜕 2𝑈 𝜕𝑆2 = 𝜕 𝜕𝑆 h 𝜕𝑈 𝜕𝑆 𝑉 i = 𝜕𝑇 𝜕𝑆 𝑉 = 1/ 𝜕𝑆 𝜕𝑇 𝑉 = 𝑇 𝐶𝑉 ⇒ 𝐶𝑉 > 0 ⇒ 0 ≤ 𝜕 2𝑈 𝜕𝑉2 = 𝜕[−𝑝] 𝜕𝑉 𝑆 = −1/ 𝜕𝑉 𝜕 𝑝 𝑆 = 1/ h 𝑉(−) 1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕 𝑝 𝑆 i = 1 𝑉 𝜅𝑆 ☞绝热压缩系数 𝜅𝑆 = − 1 𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑝 𝑆 ≥ 0 ☞绝热加压 ⇒ 体积减小