第七章几率法 近独立子系组成系统的统计理论 7.1Bose/Fermi统计 72物理量 7.3弱简并理想气体 7.4Bose-Einstein凝聚 7.5光子声子气体 7.6强简并Fermi气体
第七章 几率法 近独立子系组成系统的统计理论 7.1 Bose/Fermi 统计 7.2 物理量 7.3 弱简并理想气体 7.4 Bose-Einstein 凝聚 7.5 光子/声子气体 7.6 强简并 Fermi 气体
7.9Bose/Fermi统计 0. Fermi和Bose统计的基本假设和步骤和Boltzmann统计完全 相同 Q.确定单粒子的本征问题 Q从单粒子态构造出系统的微观态 Q利用等几率假设求出分布{a}对应的系统微观态数目2({a}) Q利用等几率假设，找到最可几态{ā}，此即热力学平衡态 Q不同的是，从单粒子态构造出系统微观态时需要考虑量子全 同性 Q经典粒子可以区分，不需要考虑全同性 Fermion/Boson不能区分，需要考虑全同性 露 由测不准原理，粒子的空间位置不是在某个确定的点上，而 是有一定展宽→波函数 当两个粒子波函数有足够多的重叠时，无法区分二者 全同粒子非定域系nonlocalized; 非全同粒子=→定域系ocalized
7.9 Bose/Fermi 统计 Fermi 和 Bose 统计的基本假设和步骤和 Boltzmann 统计完全 相同 确定单粒子的本征问题 从单粒子态构造出系统的微观态 利用等几率假设求出分布 {𝑎𝑙 } 对应的系统微观态数目 Ω({𝑎𝑙 }) 利用等几率假设，找到最可几态 {𝑎¯𝑙 }，此即热力学平衡态 不同的是，从单粒子态构造出系统微观态时需要考虑量子全 同性 经典粒子可以区分，不需要考虑全同性 Fermion/Boson 不能区分，需要考虑全同性 ☞ 由测不准原理，粒子的空间位置不是在某个确定的点上，而 是有一定展宽 ⇒ 波函数 ☞ 当两个粒子波函数有足够多的重叠时，无法区分二者 ☞ 全同粒子 ⇒ 非定域系/nonlocalized； 非全同粒子 ⇒ 定域系/localized
Bose/Fermi统计 单粒子问题 地s〉=e,(V)lws)》 iw1a〉=e(Vlw1a》 a=1,2,·,w1 分布函数{a}→2(E,N,V,{a}):∑1a1=N; ∑1aE1=E o Fermion粒子不可区分，但是不能有两个粒子处于相同的态： s每个能级中有ω1个可能的态，选出a,个态放置粒子 台1个格子放1个小球，每个格子最多只能放一个球 E,,vta》=Πa.a)=Πc8 2
Bose/Fermi 统计 单粒子问题 ℎˆ|𝜓𝑠⟩ = 𝜀𝑠 (𝑉)|𝜓𝑠⟩ ℎˆ|𝜓𝑙𝛼⟩ = 𝜀𝑙(𝑉)|𝜓𝑙𝛼⟩ 𝛼 = 1, 2, · · · , 𝜔𝑙 分布函数 {𝑎𝑙} ⇒ Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙})： Í 𝑙 𝑎𝑙 = 𝑁; Í 𝑙 𝑎𝑙𝜀𝑙 = 𝐸 Fermion 粒子不可区分，但是不能有两个粒子处于相同的态： ☞每个能级中有 𝜔𝑙 个可能的态，选出 𝑎𝑙 个态放置粒子 ⇔ 𝜔𝑙 个格子放 𝑎𝑙 个小球，每个格子最多只能放一个球 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙}) = Ö 𝑙 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = Ö 𝑙 𝐶 𝑎𝑙 𝜔𝑙
Bose/Fermi统计 Boson粒子不可区分 s每个能级中有w1个可能的态，安置a1个粒子 一ω个格子放个小球，每个格子可以放任意个球 → w1-1个挡板和a1个小球，挑出w1-1个位置放置挡板 nE,xv.a》-Πta,o-Πci-=Πcga- 小som 23…wE
Bose/Fermi 统计 Boson 粒子不可区分 ☞每个能级中有 𝜔𝑙 个可能的态，安置 𝑎𝑙 个粒子 ⇔ 𝜔𝑙 个格子放 𝑎𝑙 个小球，每个格子可以放任意个球 ⇒ 𝜔𝑙 − 1 个挡板和 𝑎𝑙 个小球，挑出 𝜔𝑙 − 1 个位置放置挡板 Ω(𝐸, 𝑁, 𝑉, {𝑎𝑙}) = Ö 𝑙 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = Ö 𝑙 𝐶 𝜔𝑙−1 𝜔𝑙+𝑎𝑙−1 = Ö 𝑙 𝐶 𝑎𝑙 𝜔𝑙+𝑎𝑙−1
Bose/Fermi统计 Boson粒子不可区分 s每个能级中有ω1个可能的态，安置a叫个粒子 台w,个格子放a1个小球，每个格子可以放任意个球 s递推法 y(0,)=1 y(1,w)=1 y(a4,1)=1 y(al,w1+1)=y(al,wn)+y(al-1,wn)+·+y(1,w1)+y(0,w1) →y(a,w)=Cucl +a-1 露系数展开 (1+x+x2+x3+…)×…×(1+x+x2+x3+…)w1项 =∑yk,w (1-x)w= y(al,ω)=C"-l '+aL-1
Bose/Fermi 统计 Boson 粒子不可区分 ☞每个能级中有 𝜔𝑙 个可能的态，安置 𝑎𝑙 个粒子 ⇔ 𝜔𝑙 个格子放 𝑎𝑙 个小球，每个格子可以放任意个球 ☞递推法 𝛾(0, 𝜔𝑙) = 1 𝛾(1, 𝜔𝑙) = 𝜔𝑙 𝛾(𝑎𝑙 , 1) = 1 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙 + 1) = 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) + 𝛾(𝑎𝑙 − 1, 𝜔𝑙) + · · · + 𝛾(1, 𝜔𝑙) + 𝛾(0, 𝜔𝑙) ⇒ 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = 𝐶 𝜔𝑙−1 𝜔𝑙+𝑎𝑙−1 ☞系数展开 (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + · · · ) × · · · × (1 + 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + · · · )☞ ✞ ✝ ☎ ✆ 𝜔𝑙 项 = Õ∞ 𝑘=0 𝛾(𝑘, 𝜔𝑙)𝑥 𝑘 (1 − 𝑥) −𝜔𝑙 = Õ∞ 𝑘=0 𝛾(𝑘, 𝜔𝑙)𝑥 𝑘 ⇒ 𝛾(𝑎𝑙 , 𝜔𝑙) = 𝐶 𝜔𝑙−1 𝜔𝑙+𝑎𝑙−1