it a=ai +a,j+a, k, b=bi +b,j+b,k i·b (a i+a,j+a, k)bi+b,j+b, k) J a与⊥k,∴·j=jk=ki=0, liik=1 ∴i·i=j·j=k·k=1. d·b=a.b.+a.b.+a.b x y J 数量积的坐标表达式
a a i a j a k, x y z = + + b bx i by j bzk 设 = + + a b = (a i a j a k) x y z + + (b i b j b k) x y z + + i j k, ⊥ ⊥ i j = j k = k i = 0, | i |=| j |=| k |= 1, i i = j j = k k = 1. x x y y z z a b = a b + a b + a b 数量积的坐标表达式
nb= albic06→cs0=a,b l‖b a、b.+a.b.+a.b X X cos 2 2 aa +a 2、/b2+b2+b2 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 ib<→a、b.+a.b.+a.b.=0
a b | a || b | cos = , | || | cos a b a b = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为
例1已知={1,1,-4},b={1,2,2},求(1) a·b;(2)与的夹角;(3)a在b上的投影 解(1)ab=1·1+1·(-2)+(-4)·2=-9 (2)c0s6= +a,b +a2 b2 +a.+a 64+b-tb 3 6= 2 3a.b=bPr,a . PrjBa=i b 3. b
例 1 已知a = {1,1,−4} ，b = {1,−2,2} ，求（1） a b ；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影. 解 a b (1) = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + + = , 2 1 = − a b b j ba (3) =| | Pr 3. | | Pr = − = b a b j ba = . 4 3
例2证明向量c与向量(a·c)b-(b·c)垂直 证(a·c)b-(b·c)l I(a·d)b·c-(b·cd·d C ·C-·c 0 I(a·c)b-(b·cd
例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a ( ) − ( ) 垂直. 证 a c b b c a c [( ) − ( ) ] [(a c)b c (b c)a c] = − (c b)[a c a c] = − = 0 a c b b c a c [( ) − ( ) ]⊥
二、两向量的向量积 实例设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力 F对支点O的力矩是一向量M,它的模 MEOQF =OP‖F|sin6 Q M的方向垂直于OP与F所决 定的平面,指向符合右手系
设O为一根杠杆L 的支点，有一力F 作用 于这杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为 ， 力 F 对支点O的力矩是一向量M ，它的模 | M | | OQ || F | = | OP || F |sin = M 的方向垂直于OP 与F 所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 二、 两向量的向量积 L F P Q O